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Symmetry and classification of solutions to an integral equation of the Choquard type - 03/12/19

Symétrie et classification des solutions d'une équation intégrale de type Choquard

Doi : 10.1016/j.crma.2019.11.005 
Phuong Le a, b, 1
a Division of Computational Mathematics and Engineering, Institute for Computational Science, Ton Duc Thang University, Ho Chi Minh City, Viet Nam 
b Faculty of Mathematics and Statistics, Ton Duc Thang University, Ho Chi Minh City, Viet Nam 

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Abstract

We study the integral equation
u(x)=∫Rnup(y)|x−y|n−α∫Rnuq(z)|y−z|n−βdzdy,x∈Rn, where   and  . We prove that all positive   solutions to the equation are radially symmetric and monotone decreasing about some point, and we classify all such solutions when  . As a consequence, we derive similar results for positive   solutions to the higher-fractional-order Choquard-type equation(−Δ)α2u=1Rn,α(1|x|n−β⁎uq)upin Rn.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Nous étudions l'équation intégrale
u(x)=∫Rnup(y)|x−y|n−α∫Rnuq(z)|y−z|n−βdzdy,x∈Rn, où   et  . Nous démontrons que toute solution positive   de l'équation est à symétrie radiale et monotone décroissante autour d'un point. Nous classifions toutes les solutions telles que  . Nous en déduisons des résultats similaires pour les solutions positives   de l'équation de type Choquard d'ordre fractionnaire supérieur(−Δ)α2u=1Rn,α(1|x|n−β⁎uq)upin Rn.

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Vol 357 - N° 11-12

P. 878-888 - novembre 2019 Retour au numéro
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