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Log-Lipschitz regularity and uniqueness of the flow for a field in - 04/04/08

Enrique Zuazua
Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma, 28049 Madrid, Spain 

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Note presented by Pierre-Louis Lions

Abstract

We consider the initial value problem ẋ=b(x),t>0;x(0)=x0, with x=x(t)Rn. We prove that local existence and uniqueness of solutions holds when the field b belongs to (Wn/p+1,ploc(Rn))n. This case corresponds to the limit regularity one in Sobolev terms since uniqueness may fail when b(Ws,ploc(Rn)) with s<n/p+1 but holds immediately when s>n/p+1 because of the Sobolev imbedding from (Ws,ploc(Rn))n into the space of locally Lipschitz fields. The proof of uniqueness relies on a Log-Lipschitz continuity property we prove for vector fields in this Sobolev class. When p=2 the proof is carried out by means of Fourier series, decomposing the field into the low and high frequencies. When p≠2 the proof uses Trudinger's inequality and the strategy of proof of Morrey's theorem. To cite this article: E. Zuazua, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 17-22.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

On considère le problème de Cauchy pour un système d'équations différentielles ordinaires ẋ=b(x),t>0 ;x(0)=x0 où l'état x=x(t)Rn et où b est un champ de vecteurs dans (Wn/p+1,ploc(Rn))n. On démontre que, pour tout x0Rn, il existe une unique solution locale (en temps). Ceci correspond à un cas limite du point de vue de l'appartenance à des espaces de Sobolev. En effet, si s<n/p+1 il existe des champs de vecteurs b(Ws,ploc(Rn))n pour lesquels l'unicité n'est pas satisfaite. Par contre, lorsque s>n/p+1 l'unicité est trivialement vraie car b est localement Lipschitz grâce aux inclusions de Sobolev. La preuve consiste à démontrer que le champ de vitesses vérifie une condition de continuité de type Log-Lipschitz permettant de vérifier que la condition classique d'unicité d'Osgood est satisfaite. Lorsque p=2 la preuve se fait à l'aide des séries de Fourier. Lorsque p≠2 on utilise l'inégalité de Trudinger et la stratégie de la preuve du théorème de Morrey. Pour citer cet article : E. Zuazua, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 17-22.

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Vol 335 - N° 1

P. 17-22 - 2002 Retour au numéro
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