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Extension du théorème de Cameron-Martin aux translations aléatoires - 04/04/08

Xavier Fernique
Institut de recherche mathématique avancée, Université Louis Pasteur et CNRS, 7, rue René Descartes, 67084 Strasbourg cédex, France 

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Note présentée par Marc Yor

Résumé

Soit γ une probabilité gaussienne (centrée) sur un espace de Fréchet séparable et localement convexe E ; soit (H,‖·‖) l'espace auto-reproduisant associé. On montre que si une probabilité μ sur E est absolument continue relativement à γ, alors il existe un vecteur aléatoire G de loi γ et un vecteur aléatoire Z à valeurs dans H tel que G+Z ait la loi μ ; on utilise pour cela les inégalités isopérimétriques gaussiennes. On montre ensuite que dans certaines situations une telle condition, nécessaire pour l'absolue continuité, est aussi suffisante ; on utilise pour cela le théorème classique de Cameron-Martin et les propriétés d'invariance des probabilités gaussiennes par rotation. Pour citer cet article : X. Fernique, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 65-68.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Abstract

Let G be a Gaussian vector taking its values in a locally convex separable Fréchet space E. We denote by γ its law and by (H,‖·‖) its reproducing Hilbert space. Let moreover X be an E-valued random vector of law μ. We prove that if μ is absolutely continuous relatively to γ, then there exist necessarly a Gaussian vector G′ of the law γ and an H-valued random vector Z such that G′+Z has the law μ of X. This fact is a direct consequence of isoperimetric properties of Gaussian vector. We show that in many situations, such condition is sufficient for μ being absolutely continuous relatively to γ, using classical Cameron-Martin theorem and invariance properties of Gaussian measures. To cite this article: X. Fernique, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 65-68.

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Vol 335 - N° 1

P. 65-68 - 2002 Retour au numéro
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