We study the asymptotic behaviour of global bounded solutions of the Cauchy problem for the semilinear 2mth order parabolic equation u_t=−(−Δ)^mu+|u|^p in R^N×R₊, where m>1, p>1, with bounded integrable initial data u₀. We prove that in the supercritical Fujita range p>p_F=1+2m/N any small global solution with nonnegative initial mass, ∫u0dx⩾0, exhibits as t→∞ the asymptotic behaviour given by the fundamental solution of the linear parabolic operator (unlike the case p]1,pF] where solutions can blow-up for any arbitrarily small initial data). A discrete spectrum of other possible asymptotic patterns and the corresponding monotone sequence of critical exponents {pl=1+2m/(l+N),l=0,1,2,...}, where p₀=p_F, are discussed. To cite this article: Yu.V. Egorov et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 805-810.

On considère le comportement asymptotique des solutions globales bornées du problème de Cauchy pour l'équation parabolique sémi-linéaire d'ordre 2m u_t=−(−Δ)^mu+|u|^p in R^N×R₊, u(x,0)=u₀X=L¹(R^N)L^∞(R^N), où m>1, p>1. On vérifie que dans le cas surcritique de Fujita p>p_F=1+2m/N toute petite solution globale avec la donnée initiale vérifiant ∫u0dx⩾0, montre le comportement asymptotique quand t→∞ défini par la solution fondamentale de l'opérateur linéaire parabolique, à la différence du cas p]1,pF] quand la solution peut exploser pour la donnée initiale arbitrairement petite. Le spectre discret des pistes possibles et la suite correspondante des exponents critiques {pl=1+2m/(l+N),l=0,1,2,...}, où p₀=p_F, sont descriptes. Pour citer cet article : Yu.V. Egorov et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 805-810.