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Asymptotic behavior of a stochastic growth process associated with a system of interacting branching random walks - 04/04/08

Alejandro F. Ramı́ rez a , Vladas Sidoravicius b
a Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile, Casilla 306-Correo 22, Santiago, Chile 
b IMPA, Estr. Dona Castorina 110, 22460-320 Rio de Janeiro, Brazil 

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Note presented by Jean-Christophe Yoccoz

Abstract

We study a continuous time growth process on Zd (d⩾1) associated to the following interacting particle system: initially there is only one simple symmetric continuous time random walk of total jump rate one located at the origin; then, whenever a random walk visits a site still unvisited by any other random walk, it creates a new independent random walk starting from that site. Let us call Pd the law of such a process and S0d(t) the set of sites, visited by all walks by time t. We prove that there exists a bounded, non-empty, convex set CdRd, such that for every ε>0, Pd-a.s. eventually in t, the set Sd0(t) is within an ε neighborhood of the set [Cdt], where for ARd we define [A]:=AZd. Moreover, for d large enough, the set Cd is not a ball under the Euclidean norm. We also show that the empirical density of particles within Sd0(t) converges weakly to a product Poisson measure of parameter one. To cite this article: A.F. Ramı́rez, V. Sidoravicius, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 821-826.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Nous étudions un modèle de croissance à temps continu sur Zd (d⩾1) associé au système de particules en interaction suivant : initiallement il y a seulement une marche aléatoire à temps continu simple, symétrique, à taux un et située à l'origine ; ensuite, aussitôt qu'une marche aléatoire visite un site jamais encore visité par aucune autre marche, une nouvelle marche est créée, partant de ce site et indépendante des autres. Nous notons Pd la loi d'un tel processus et S0d(t) l'ensemble des sites déjà visités à l'instant t. Nous prouvons qu'il existe un ensemble CdRd convexe, non-vide et borné tel que, pour tout ε>0, Pd-p.s. et pour t assez grand, l'ensemble Sd0(t) soit inclus dans un ε-voisinage de [Cdt], où l'on a défini, pour ARd, [A] :=AZd. En outre, pour d assez grand, l'ensemble Cd n'est pas une boule pour la norme euclidienne. Enfin, nous montrons que la densité empirique de particules à l'intérieur de Sd0(t) converge faiblement vers un produit de lois de Poisson de paramétre un. Pour citer cet article : A.F. Ramı́rez, V. Sidoravicius, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 821-826.

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Vol 335 - N° 10

P. 821-826 - novembre 2002 Retour au numéro
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