In a previous Note [1], we suggested a quantum model of the unit interval [0,1], using convergent power series, parametrized by a variable q (a remarkable example is the quantum exponential, defined by Euler). In the present Note, we suggest a simpler model based on functions f=f(x):Z→k (with an arbitrary commutative ring k) which are constant when x+∞ or x−∞ and their “differentials” considered as functions xf(x+1)−f(x) (difference calculus). Thanks to this new “differential calculus over the integers”, we can associate to any simplicial set or topological space X a braided differential graded algebra D(X) which is similar in spirit to the algebra W(X) introduced in [1]. We notice that the p-homotopy type of X can be read from the braiding of D(X). In particular, if k=Z, we recover in a purely algebraic way the integral cohomology, Steenrod operations, homotopy groups from this braiding. To cite this article: M. Karoubi, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 121-126.

Dans une Note précédente [1], nous avons proposé un modèle quantique de l'intervalle [0,1], à partir de séries convergentes dépendant d'un paramètre q (un exemple notable étant l'exponentielle quantique, dûe à Euler). Dans cette Note, nous suggérons un modèle plus simple construit à partir de fonctions f=f(x) :Z→k (k étant un anneau commutatif quelconque) constantes quand x+∞ ou x−∞ et leurs « différentielles » df que nous interpretons comme les fonctions xf(x+1)−f(x) (calcul aux différences). Grâce à ce nouveau « calcul différentiel sur les nombres entiers », nous pouvons associer à un ensemble simplicial ou espace topologique quelconque X une algèbre différentielle graduée tressée D(X), analogue en esprit à l'algèbre W(X) considérée dans [1]. Il convient de remarquer que le p-type d'homotopie de l'ensemble simplicial X « se lit » essentiellement sur le tressage de l'algèbre D(X). En particulier, si k=Z, nous retrouvons de manière purement algébrique la cohomologie entière, les opérations de Steenrod, les groupes d'homotopie à partir de ce tressage. Pour citer cet article : M. Karoubi, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 121-126.