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Exact and asymptotic inverse of the Toeplitz matrix with polynomial singular symbol - 05/04/08

Philippe Rambour , Abdellatif Seghier
Université de Paris Sud, bâtiment 425, 91405 Orsay cedex, France 

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Note presented by Jean-Pierre Kahane

Abstract

From a previous work and an application of predictive polynomials we obtain two types of results. In a first part exact entries of the Toeplitz matrix are computed in the case where the symbol is |P|2f and where f is a non negative regular function and P a polynomial with all its zeros on T. In a second part we give an asymptotic expansion for symbols (1−cosθ)pf when f is always a nonnegative regular function. These formulas use Green kernels associated to differential operators of order 2p. Finally, we propose some applications to the computation of traces and determinants. To cite this article: P. Rambour, A. Seghier, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 705-710.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

À partir de travaux antérieurs et d'une application des polynômes prédicteurs nous obtenons deux types de résultats. Dans une première partie nous proposons une méthode pour obtenir un développement exact des coefficients de matrices de Toeplitz ayant un symbole du type |P|2ff est une fonction régulière positive et P un polynôme ayant ses zéros sur le tore. Dans une deuxième partie nous obtenons des formules asymptotiques pour les coefficients de l'inverse des matrices de Toeplitz dont le symbole est le produit de (1−cosθ)p par une fonction strictement positive. Ces développements utilisent des noyaux de Green associés à des opérateurs différentiels d'ordre 2p. Enfin nous proposons quelques applications aux calculs des traces et des déterminants. Pour citer cet article : P. Rambour, A. Seghier, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 335 (2002) 705-710.

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Vol 335 - N° 8

P. 705-710 - octobre 2002 Retour au numéro
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