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The Weyl calculus and the zeta function - 14/08/08

Doi : 10.1016/j.crma.2008.03.020 
André Unterberger
Département de mathématiques, FRE 311, Université de Reims, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France 

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Abstract

Let   and  . Given a finite set S of primes including 2, and  , one can define a set   of discretely supported measures on the line, parametrized by the set of squares in  , with the following properties: (i) the linear space generated by the distributions   is invariant under the metaplectic transformation   associated to any element   of the metaplectic group lying above Γ; (ii) for every   in the metaplectic group, lying above  , set  : then, given   with the parity determined by #S, the sum   only depends on the class Γg, and the integral of this expression over   is the product of   by a positive constant. Analyzing an operator   by means of its diagonal matrix elements   brings to light a natural spectral–theoretic role of the family of partial products of the Eulerian expansion of the zeta function. To cite this article: A. Unterberger, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Soient   and  . Étant donnés un ensemble fini S de nombres premiers comprenant 2, et  , on peut construire un ensemble   de mesures à support discret sur la droite, indexé par lʼensemble des carrés dans  , avec les propriétés suivantes : (i) lʼespace vectoriel engendré par les distributions   est invariant par toute transformation métaplectique   au–dessus dʼun point de Γ ; (ii) pout tout   appartenant au groupe métaplectique, au–dessus dʼun point  , posons   : alors, étant donnée  , de parité déterminée par le nombre #S, la somme   ne dépend que de la classe Γg, et lʼintégrale de cette expression au–dessus de   est le produit de   par une constante positive. Lʼanalyse dʼun opérateur   au moyen des produits scalaires   met en évidence un rôle naturel, comme ingrédient dʼune densité spectrale, joué par tout produit partiel du développement eulérien de la fonction zeta. Pour citer cet article : A. Unterberger, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

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Vol 346 - N° 11-12

P. 607-610 - juin 2008 Retour au numéro
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