Complete gradient shrinking Ricci solitons have finite topological type - 14/08/08

Doi : 10.1016/j.crma.2008.03.021

Fu-quan Fang ^a , Jian-wen Man ^b, Zhen-lei Zhang ^b
^a Department of Mathematics, Capital Normal University, Beijing, PR China
^b Chern Institute of Mathematics, Weijin Road 94, Tianjin 300071, PR China

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Abstract

We show that a complete Riemannian manifold has finite topological type (i.e., homeomorphic to the interior of a compact manifold with boundary), provided its Bakry–Émery Ricci tensor has a positive lower bound, and either of the following conditions:

(i) the Ricci curvature is bounded from above;

(ii) the Ricci curvature is bounded from below and injectivity radius is bounded away from zero.

Moreover, a complete shrinking Ricci soliton has finite topological type if its scalar curvature is bounded. To cite this article: F.-q. Fang et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Dans cette Note nous montrons quʼune variété riemanienne complète est de type topologique fini – cʼest-à-dire quʼelle est homéomorphe à une variété compacte à bord – si son tenseur de Bakry–Emery–Ricci est bornée inférieurement par une constante positive et vérifie lʼune des conditions suivantes :

(i) la courbure de Ricci est bornée supérieurement.

(ii) la courbure de Ricci est bornée inférieurement et le rayon dʼinjectivité est positif.

De plus, un soliton de Ricci contractant complet est de type topologique fini si sa coubure scalaire est bornée. Pour citer cet article : F.-q. Fang et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.