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Filtration de Johnson et groupe de Torelli modulo p, p premier - 14/08/08

Doi : 10.1016/j.crma.2008.04.015 
Bernard Perron
Université de Bourgogne, institut de mathématiques de Bourgogne, U.M.R. du C.N.R.S., U.F.R. sciences et techniques, 9, avenue Alain-Savary, B.P. 47 870, 21078 Dijon cedex, France 

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Résumé

Soit   une surface connexe, compacte, orientée, de genre g, avec une composante de bord et   son groupe modulaire. Soit p un entier, ou bien égal à 0, ou bien premier ≥2. On construit une p-filtration centrale de  , notée  , généralisant la filtration de Johnson (qui correspond à  ) telle que  ,     est un  -espace vectoriel de dimension finie et   est le groupe de Torelli modulo p (e.g. le sous-groupe de   des homéomorphismes induisant lʼidentité sur  . On annonce les résultats suivants : le groupe de Torelli   est engendré par le groupe de Torelli usuel et les puissances p-ième des twists de Dehn. On détermine ensuite lʼabélianisé du groupe de Torelli modp (à 2-torsion finie pres). Toute sphère dʼhomologie rationnelle Σ de dimension trois sʼobtient en recollant deux corps dʼanses par un élément du groupe de Torelli  , où p est un entier premier ≥3 divisant  , n étant le cardinal de  . On propose enfin un invariant conjectural de ces sphères dʼhomologie rationnelle. Pour citer cet article : B. Perron, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

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Abstract

Let   be a connected, compact, oriented surface of genus g, with one boundary component and   its mapping class group. Let p be an integer, either equal to 0, or a prime ≥2. We construct a central p-filtration of  , denoted  , generalizing the Johnson filtration (which corresponds to  ) such that  ,     is a finite dimensional  -vector space and   is the Torelli group   (e.g. the subgroup of   of homeomorphisms which induce identity on  ;  )). We announce the following results: the Torelli group   is generated by the usual Torelli group and the p-th powers of all Dehn twists. We compute the abelianization of the Torelli group  , up to finite 2-torsion. Any  -homology sphere   is obtained by gluing two handlebodies by an element of the Torelli group  , for any prime   dividing  , where n is the cardinal of  . Finally we propose a conjectural invariant for these  -homology spheres. To cite this article: B. Perron, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

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Vol 346 - N° 11-12

P. 667-670 - juin 2008 Retour au numéro
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