We consider the Helmholtz equation with a variable index of refraction  , which is not necessarily constant at infinity but can have an angular dependency like   as  . We prove that the Sommerfeld condition at infinity still holds true under the weaker form   Our approach consists in proving this estimate in the framework of the limiting absorbtion principle. We use Morrey-Campanato type of estimates and a new inequality on the energy decay, namely   It is a striking feature that the index   appears in this formula and not the phase gradient, in apparent contradiction with existing literature. To cite this article: B. Perthame, L. Vega, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).

Nous considérons l'équation de Helmholtz avec un indice de réfraction   qui peut varier à l'infini en fonction de l'angle,   lorsque  . Nous prouvons que la condition de radiation de Sommerfeld reste valable sous la forme faible   Nous démontrons cette estimation via le principe d'absorbtion limite. Nous utilisons des inégalités de type Morrey-Campanato et une nouvelle estimation a priori sur le contrôle de l'énergie à l'infini  Le point surprenant de la condition de Sommerfeld ci-dessus est que l'indice   y apparaît et non le gradient de la phase, ce qui contredit apparamment la littérature existante. Pour citer cet article : B. Perthame, L. Vega, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).