Let ω be a simply-connected open subset in   and let   be a smooth immersion. If two symmetric matrix fields   and   of order two satisfy appropriate compatibility relations in ω, then   and   are the linearized change of metric and change of curvature tensor fields corresponding to a displacement vector field η of the surface  .

We show here that, when the fields   and   are smooth, the displacement vector   at any point  , of the surface   can be explicitly computed by means of a “Cesàro–Volterra path integral formula on a surface”, i.e., a path integral inside ω with endpoint y, and whose integrand is an explicit function of the functions   and   and their covariant derivatives. To cite this article: P.G. Ciarlet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

Soit ω un ouvert simplement connexe de   et soit   une immersion régulière. Si deux champs   et   de matrices symétriques dʼordre deux satisfont des conditions de compatibilité appropriées dans ω, alors   et   sont les champs de tenseurs linéarisés de changement de métrique et de courbure associés à un champ η de déplacements de la surface  .

On montre ici que, si les champs   et   sont réguliers, le vecteur déplacement   en tout point  , de la surface   peut être calculé explicitement au moyen dʼune “intégrale de Cesàro–Volterra” le long dʼun chemin dans ω dʼextrémité y, et dont lʼintégrande est une fonction explicite des fonctions   et   et de leurs dérivées covariantes. Pour citer cet article : P.G. Ciarlet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).