The spectral order on   induces a partial ordering on the manifold   of monic hyperbolic polynomials of degree  . We show that the semigroup   generated by differential operators of the form  ,  , acts on the poset   in an order-preserving fashion. We also show that polynomials in   are global minima of their respective  -orbits and we conjecture that a similar result holds even for complex polynomials. Finally, we show that only those pencils of polynomials in   which are of logarithmic derivative type satisfy a certain local minimum property for the spectral order. To cite this article: J. Borcea, B. Shapiro, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).

L'ordre spectral sur   induit un ordre partiel sur la variété   des polynômes hyperboliques de degré   dont le coefficient dominant est égal à un. On montre que cet ordre est préservé par l'action sur   du semigroupe   engendré par les opérateurs différentiels du type  ,   On démontre aussi que tout polynôme de   est le minimum global de son  -orbite et on propose une conjecture selon laquelle un résultat similaire serait valable dans le cas des polynômes à coefficients complexes. On montre enfin que de tous les faisceaux de polynômes dans  , seulement ceux qui sont associés aux dérivées logarithmiques satisfont une certaine propriété de minimum local pour l'ordre spectral. Pour citer cet article : J. Borcea, B. Shapiro, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 337 (2003).