Nous nous intéressons à une équation dʼHamilton–Jacobi–Bellman ergodique provenant dʼun problème de contrôle stochastique comprenant un nombre fini k de points en lesquels la dynamique sʼannule et le lagrangien est minimal. Sous une condition de stabilisabilité, on établit que les solutions de lʼéquation ergodique sont uniquement déterminées par leurs valeurs en ces points et que lʼensemble des solutions est isométrique au sens de la norme sup à un ensemble convexe fermé non vide dont la dimension est majorée par k. Pour citer cet article : M. Akian et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

We consider an ergodic Hamilton–Jacobi–Bellman equation coming from a stochastic control problem in which there are exactly k points where the dynamics vanishes and the Lagrangian is minimal. Under a stabilizability assumption, we state that the solutions of the ergodic equation are uniquely determined by their value on these k points, and that the set of solutions is sup-norm isometric to a non-empty closed convex set whose dimension is less or equal to k. To cite this article: M. Akian et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).