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Caractérisation fonctionnelle de la cohomologie algébrique dʼune variété projective - 13/11/08

Doi : 10.1016/j.crma.2008.09.023 
Michel Méo
I.E.C.N., Université de Nancy I, boulevard des Aiguillettes, BP 239, 54506 Vandoeuvre-lès-Nancy, France 

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Résumé

On montre quʼun courant fermé dans une variété projective est cohomologue à un cycle algébrique à coefficients complexes si et seulement si il est limite faible de tels cycles. Cela nous permet de présenter deux approches fonctionnelles au problème de lʼalgébricité des classes de cohomologie. Dʼune part, en utilisant la caractérisation des courants associés aux cycles algébriques par la transformation de Chow, on obtient que les obstructions se traduisent par une orthogonalité à certaines fonctions   sur la Grassmannienne, images en général seulement de distributions par un opérateur différentiel linéaire explicite, ce qui force une convergence dans lʼespace des fonctions  . Dʼautre part, en se plaçant sur lʼespace des diviseurs de la Grassmannienne, on introduit une équation différentielle scalaire dont la résolution permet lʼapproximation. Pour citer cet article : M. Méo, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Abstract

We prove that a closed current on a projective manifold is cohomologous to an algebraic cycle with complex coefficients if and only if it is a weak limit of such cycles. This allows us to present two functional approaches of the problem of the algebraicity of cohomology classes. On the one hand, using the characterization of currents associated to algebraic cycles by the Chow transformation, we reduce the obstructions to an orthogonality condition with certain smooth functions on the Grassmannian, which are in general merely images of distributions by a suitable explicitly defined linear differential operator; this forces a convergence in the space of   functions. On the other hand, by going onto the space of divisors of the Grassmannian, we introduce a scalar differential equation whose resolution gives the approximation. To cite this article: M. Méo, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

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Vol 346 - N° 21-22

P. 1159-1162 - novembre 2008 Retour au numéro
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