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Justification of the Darboux–Vallée–Fortuné compatibility relation in the theory of surfaces - 13/11/08

Doi : 10.1016/j.crma.2008.09.002 
Philippe G. Ciarlet a , Oana Iosifescu b
a Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong 
b Département de mathématiques, Université de Montpellier II, place Eugène-Bataillon, 34095 Montpellier cedex 5, France 

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Abstract

Given two fields of positive definite symmetric, and symmetric, matrices defined over a simply-connected open subset  , the fundamental theorem of surface theory asserts that, if these fields satisfy the Gauss and Codazzi–Mainardi relations in ω, then there exists an immersion θ from ω into   such that these fields are the two fundamental forms of the surface  

We show here that a new compatibility relation, shown to be necessary by C. Vallée and D. Fortuné in 1996 through the introduction, following an idea of G. Darboux, of a rotation field on a surface, is also sufficient for the existence of such an immersion θ. To cite this article: P.G. Ciarlet, O. Iosifescu, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Etant donné deux champs suffisamment réguliers définis dans un ouvert simplement connexe  , lʼun de matrices symétriques définies positives et lʼautre de matrices symétriques, le théorème fondamental de la théorie des surfaces affirme que, si ces deux champs satisfont les relations de Gauss et Codazzi–Mainardi dans ω, alors il existe une immersion θ de ω dans   telle que ces champs soient les deux formes fondamentales de la surface  .

On montre ici quʼune nouvelle relation de compatibilité, dont C. Vallée et D. Fortuné ont montré en 1996 la nécessité en suivant une idée de G. Darboux, est également suffisante pour lʼexistence dʼune telle immersion θ. Pour citer cet article : P.G. Ciarlet, O. Iosifescu, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

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Vol 346 - N° 21-22

P. 1197-1202 - novembre 2008 Retour au numéro

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