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A counterexample to a conjecture by De Giorgi in large dimensions - 14/01/09

Doi : 10.1016/j.crma.2008.10.010 
Manuel del Pino a , Michał Kowalczyk b, c , Juncheng Wei d
a Departamento de Ingeniería Matemática and CMM, Universidad de Chile, Casilla 170, Correo 3, Santiago, Chile 
b Kent State University, Department of Mathematical Sciences, Kent, OH 44242, USA 
c Departamento de Ingeniería Matemática, Universidad de Chile, Casilla 170, Correo 3, Santiago, Chile 
d Department of Mathematics, Chinese University of Hong Kong, Shatin, Hong Kong 

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Abstract

We consider the Allen–Cahn equation
Δu+u(1−u2)=0in RN. A celebrated conjecture by E. De Giorgi (1978) states that if u is a bounded solution to this problem such that  , then the level sets  ,  , must be hyperplanes at least if  . We construct a family of solutions which shows that this statement does not hold true for  . To cite this article: M. del Pino et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Nous considérons l’équation d’Allen–Cahn :
Δu+u(1−u2)=0dans RN. Une conjecture célèbre de E. De Giorgi (1978) affirme que si u est une solution bornée de ce problème telle que  , alors les ensembles de niveau  ,  , sont des hyperplans au moins si  . Nous contruisons une famille de solutions qui montre que cette conjecture n’est pas vraie pour  . Pour citer cet article : M. del Pino et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

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Vol 346 - N° 23-24

P. 1261-1266 - décembre 2008 Retour au numéro
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