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Rang et courbure de Blaschke des tissus holomorphes réguliers de codimension un - 14/01/09

Doi : 10.1016/j.crma.2008.10.011 
Vincent Cavalier , Daniel Lehmann
CNRS UMR 5030, Laboratoire I3M, Université de Montpellier II, case 051, 34095 Montpellier cedex 5, France 

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Résumé

A tout d-tissu de codimension un sur une variété holomorphe M de dimension n, ( ), nous associons un sous-ensemble analytique S de M, qui – génériquement – a une dimension au plus égale à   : on dit alors que le tissu est régulier.

Notant   la dimension de l’espace vectoriel des polynômes homogènes de degré h à n variables, nous montrons que le rang d’un tissu régulier a une borne supérieure   égale à 0 pour  , et à   pour  ,   désignant l’entier tel que  . Cette borne est optimale pour les tissus réguliers. Elle est strictement inférieure à la borne   de Chern–Castelnuovo pour  .

En outre, si d est précisément égal à  , nous définissons une connexion holomorphe sur un certain fibré vectoriel holomorphe   de rang   au dessus de  , tel que l’espace vectoriel des germes de relation abélienne du tissu en un point de   soit isomorphe à l’espace vectoriel des germes, en ce point, de sections holomorphes de   ayant une dérivée covariante nulle : la courbure de cette connexion, qui généralise la courbure de Blaschke–Dubourdieu–Pantazi–Hénaut, est alors l’obstruction à ce que le rang du tissu atteigne la valeur  . [Pour  , S est toujours vide de sorte que tout tissu est régulier,   est égal à  , et tout d peut s’écrire sous la forme   : nous retrouvons les résultats de Pantazi (1938) et de Hénaut (2004).] Pour citer cet article : V. Cavalier, D. Lehmann, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

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Abstract

1

  We changed recently the terminology, and call now “ordinary” instead of “regular” the webs which are studied in this note.
To any d-web of codimension one on a holomorphic n-dimensional manifold M ( ), we associate an analytic subset S of M. We call regular the webs for which S has at most dimension  . This condition is generically satisfied.

Denoting by   the dimension of the vector space of homogeneous polynomials of degree h in n variables, we prove that the rank of a regular web has an upper-bound   equal to 0 for  , and to   for  ,   denoting the integer such that  . This bound   is optimal for regular webs. For  , it is strictly smaller than the bound   of Chern–Castelnuovo.

Moreover, if d is precisely equal to  , we define a holomorphic connection on some vector bundle   of rank   above  , such that the vector space of germs of Abelian relation of the web at a point of   is isomorphic to the vector space of germs at that point of holomorphic sections of   with vanishing covariant derivative: the curvature of this connection, which generalizes the curvature of Blaschke–Dubourdieu–Panzani–Hénaut, is then the obstruction for the rank of the web to reach the value  . [When  , S is always empty so that any web is regular,  , any d may be written  : we recover the results given in Pantazi (1938) and Hénaut (2004).] To cite this article: V. Cavalier, D. Lehmann, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

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 Cet article est un résumé de [V. Cavalier, D. Lehmann, Regular holomorphic webs of codimension one, arXiv: math/0703596v1 [math. DS], 20/03/2007, [1]], sans démonstration.
 Nous avons récemment modifié la terminologie, et appelons désormais “ordinaires” les tissus dits “réguliers” dans cette note.


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Vol 346 - N° 23-24

P. 1283-1288 - décembre 2008 Retour au numéro
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