Mixed motives and the slice filtration - 25/04/09

Doi : 10.1016/j.crma.2009.02.028

Pablo Pelaez
Département de mathématiques, Institut Galilée, Université Paris 13, 99, avenue Jean-Baptiste Clément, 93430 Villetaneuse, France

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Abstract

We construct several Quillen model structures in Jardine’s category Spt of motivic symmetric T-spectra [J.F. Jardine, Motivic symmetric spectra, Doc. Math. 5 (2000) 445–553], such that their associated homotopy categories are naturally isomorphic to Voevodsky’s slice filtration [V. Voevodsky, Open problems in the motivic stable homotopy theory. I, in: Motives, Polylogarithms and Hodge Theory, Part I, Int. Press Lect. Ser., Irvine, CA, 1998]. We prove a conjecture of Voevodsky [V. Voevodsky, Open problems in the motivic stable homotopy theory. I, in: Motives, Polylogarithms and Hodge Theory, Part I, Int. Press Lect. Ser., Irvine, CA, 1998], which says that over a perfect field all the slices have a canonical structure of modules in Spt over the motivic Eilenberg–MacLane spectrum . Restricting the field even further to the case of characteristic zero, we get that the slices may be interpreted as big motives in the sense of Voevodsky. We also show that the smash product in Spt induces pairings in the motivic Atiyah–Hirzebruch spectral sequence. To cite this article: P. Pelaez, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

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Résumé

Nous construisons plusieurs structures des modèles de Quillen dans la catégorie de Jardine Spt des T-spectres symétriques motiviques [J.F. Jardine, Motivic symmetric spectra, Doc. Math. 5 (2000) 445–553], tel que leur catégories d’homotopie associées sont naturellement isomorphiques à la filtration par les tranches de Voevodsky [V. Voevodsky, Open problems in the motivic stable homotopy theory. I, in: Motives, Polylogarithms and Hodge Theory, Part I, Int. Press Lect. Ser., Irvine, CA, 1998]. Nous prouvons une conjecture de Voevodsky [V. Voevodsky, Open problems in the motivic stable homotopy theory. I, in: Motives, Polylogarithms and Hodge Theory, Part I, Int. Press Lect. Ser., Irvine, CA, 1998], laquelle affirme que sur un corps parfait tous les tranches sont canoniquement modules dans Spt sur le spectre motivique d’Eilenberg–MacLane . Si le corps est de charactéristique zéro, nous obtenons que les tranches sont motifs grands au sens de Voevodsky. Nous montrons aussi que le produit « smash » dans Spt induit des structures multiplicatives sur la suite spectrale motivique de Atiyah–Hirzebruch. Pour citer cet article : P. Pelaez, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).