We first show exponential large deviation inequalities for supermartingales, which are optimal in the independent and identically distributed (iid) case. We then apply them to establish new exponential concentration inequalities for the free energy of directed polymers in random environment; as consequences we obtain upper bounds of its rate of convergences (in probability, almost surely, and in  ), and give an expression for the free energy in terms of free energies of some multiplicative cascades. To cite this article: Q. Liu, F. Watbled, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

Nous montrons d’abord des inégalités exponentielles de grandes déviations pour les surmartingales, qui sont optimales dans le cas de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (iid). Nous utilisons ensuite ce résultat pour établir des inégalités exponentielles de concentration pour l’énergie libre des polymères dirigés en milieu aléatoire ; nous en déduisons des bornes supérieures pour sa vitesse de convergence (en probabilité, presque sûrement, et dans  ), et une expression de l’énergie libre en terme d’énergies libres de certaines cascades multiplicatives. Pour citer cet article : Q. Liu, F. Watbled, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).