Let G be a connected reductive algebraic group and let   be its derived subgroup. Let   be a multiplicity free representation with a one-dimensional quotient (see definition below). We prove that the algebra   of  -invariant differential operators with polynomial coefficients on V, is a quotient of a so-called Smith algebra over its center. Over   this class of algebras was introduced by S.P. Smith (1990) as a class of algebras similar to  . Our result generalizes the case of the Weil representation, where the associative algebra generated by   and   (Q being a non-degenerate quadratic form on V) is a quotient of  . Other structure results are obtained when   is a regular prehomogeneous vector space of commutative parabolic type. To cite this article: H. Rubenthaler, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

Soit G un groupe algébrique réductif connexe et soit   son groupe dérivé. Soit   un espace sans multiplicités ayant un quotient unidimensionel (voir la définition ci-dessous). Nous montrons que l’algèbre   des opérateurs différentiels à coefficients poynomiaux  -invariants sur V, est isomorphe à un quotient d’une algèbre de Smith sur son centre. Sur   cette classe d’algèbres, avait été introduite par S.P. Smith (1990) comme une classe d’algèbres semblables à  . Notre résultat généralise le cas de la représentation de Weil, où l’algèbre associative engendrée par   et   (Q étant une forme quadratique non dégénérée sur V), est un quotient de  . D’autres résultats de structure sont obtenus lorsque   est un espace préhomogène parabolique commutatif régulier. Pour citer cet article : H. Rubenthaler, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).