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On Eisenstein series and the cohomology of arithmetic groups - 08/06/10

Doi : 10.1016/j.crma.2010.04.007 
Neven Grbac a , Joachim Schwermer b, c, 1
a Department of Mathematics, University of Rijeka, Omladinska 14, 51000 Rijeka, Croatia 
b Faculty of Mathematics, University of Vienna, Nordbergstrasse 15, A-1090 Vienna, Austria 
c Erwin Schrödinger International Institute for Mathematical Physics, Boltzmanngasse 9, A-1090 Vienna, Austria 

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Abstract

The automorphic cohomology of a reductive  -group G captures essential analytic aspects of the arithmetic subgroups of G. The subspace spanned by all possible residues and principal values of derivatives of Eisenstein series, attached to cuspidal automorphic forms π on the Levi factor of proper parabolic  -subgroups of G, forms the Eisenstein cohomology. We show that non-trivial classes can only arise if the point of evaluation features a “half-integral” property. Consequently, only the analytic behavior of the automorphic L-functions at half-integral arguments matters whether an Eisenstein series attached to a globally generic π gives rise to a residual class or not.

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Résumé

La cohomologie automorphe d’un  -groupe réductif G détecte des propriétés analytiques essentielles des sous-groupes arithmétiques de G. La cohomologie d’Eisenstein est le sous-espace engendré par tous les résidus ainsi que par les valeurs principales des dérivées des séries d’Eisenstein, attachées aux formes automorphes cuspidales π sur les facteurs de Levi des  -sous-groupes paraboliques propres de G. Nous montrons que les classes non triviales ne peuvent provenir que des évaluations aux points « demi-entiers ». Ainsi, savoir si une série d’Eisenstein attachée à une forme π générique donne lieu à une classe résiduelle ou non, ne dépend que du comportement analytique de fonctions L automorphes en des points demi-entiers.

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Vol 348 - N° 11-12

P. 597-600 - juin 2010 Retour au numéro
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