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Buffon needle lands in ϵ-neighborhood of a 1-dimensional Sierpinski Gasket with probability at most - 08/06/10

Doi : 10.1016/j.crma.2010.04.006 
Matthew Bond a , Alexander Volberg a, b
a Department of Mathematics, Michigan State University, East Lansing, MI 48824, USA 
b School of Mathematics, University of Edinburgh, Mayfield Road, Edinburgh EH9 3JZ, UK 

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Abstract

In recent years, relatively sharp quantitative results in the spirit of the Besicovitch projection theorem have been obtained for self-similar sets by studying the   norms of the “projection multiplicity” functions,  , where   is the number of connected components of the partial fractal set that orthogonally project in the θ direction to cover x. In Nazarov et al. (2008) [4], it was shown that n-th partial 4-corner Cantor set with self-similar scaling factor 1/4 decays in Favard length at least as fast as  , for  . In Bond and Volberg (2009) [1], this same estimate was proved for the 1-dimensional Sierpinski gasket for some  . A few observations were needed to adapt the approach of Nazarov et al. (2008) [4] to the gasket: we sketch them here. We also formulate a result about all self-similar sets of dimension 1.

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Résumé

On donne une estimation de la probabilité pour que l’aiguille de Buffon soit ϵ-proche d’un ensemble de Cantor–Sierpinski. On trouve une majoration de cette probabilité en  , où c est une constante strictement positive, cette constante n’est pas connue de mannière précise, mais l’estimation est optimale.

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Vol 348 - N° 11-12

P. 653-656 - juin 2010 Retour au numéro
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