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Semi-global weak stabilization of bilinear Schrödinger equations - 23/10/10

Doi : 10.1016/j.crma.2010.09.002 
Karine Beauchard a , Vahagn Nersesyan b, 1
a CMLA, ENS Cachan, CNRS, UniverSud, 61, avenue du Président Wilson, 94230 Cachan, France 
b Laboratoire de mathématiques de Versailles, bâtiment Fermat, 45, avenue des Etats-Unis, 78035 Versailles cedex, France 

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Abstract

We consider a linear Schrödinger equation, on a bounded domain, with bilinear control, representing a quantum particle in an electric field (the control). Recently, Nersesyan proposed explicit feedback laws and proved the existence of a sequence of times   for which the values of the solution of the closed loop system converge weakly in   to the ground state. Here, we prove the convergence of the whole solution, as  . The proof relies on control Lyapunov functions and an adaptation of the LaSalle invariance principle to PDEs.

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Résumé

Nous considérons une équation de Schrödinger linéaire, sur un domaine borné, avec un contrôle bilinéaire, modélisant une particule quantique dans un champ électrique (la commande). Récemment, Nersesyan a proposé des lois de rétroaction explicites et démontré l'existence d'une suite de temps   auxquels les valeurs de la solution du système bouclé convergent faiblement dans   vers l'état fondamental. Ici, nous démontrons la convergence de toute la solution, quand  . La preuve repose sur des fonctions de Lyapunov et une adaptation du principe d'invariance de LaSalle aux EDP.

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Vol 348 - N° 19-20

P. 1073-1078 - octobre 2010 Retour au numéro
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