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Sharp bounds on the rate of convergence of the empirical covariance matrix - 01/02/11

Doi : 10.1016/j.crma.2010.12.014 
Radosław Adamczak a, 1 , Alexander E. Litvak b , Alain Pajor c , Nicole Tomczak-Jaegermann b, 2
a Institute of Mathematics, University of Warsaw, Banacha 2, 02-097 Warszawa, Poland 
b Department of Mathematical and Statistical Sciences, University of Alberta, Edmonton, Alberta, Canada T6G 2G1 
c Équipe d'analyse et mathématiques appliquées, université Paris Est, 5, boulevard Descartes, Champs-sur-Marne, 77454 Marne-la-Vallee cedex 2, France 

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Abstract

Let   be independent centered random vectors with log-concave distribution and with the identity as covariance matrix. We show that with overwhelming probability one has
supx∈Sn−1|1N∑i=1N(|〈Xi,x〉|2−E|〈Xi,x〉|2)|⩽CnN, where C is an absolute positive constant. This result is valid in a more general framework when the linear forms   and the Euclidean norms   exhibit uniformly a sub-exponential decay. As a consequence, if A denotes the random matrix with columns  , then with overwhelming probability, the extremal singular values   and   of   satisfy the inequalities   which is a quantitative version of Bai–Yin theorem (Z.D. Bai, Y.Q. Yin, 1993 [[4]]) known for random matrices with i.i.d. entries.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Soient   des vecteurs aléatoires indépendants centrés, de matrice de covariance l'identité et à densité log-concave. On démontre qu'avec une grande probabilité, on a
supx∈Sn−1|1N∑i=1N(|〈Xi,x〉|2−E|〈Xi,x〉|2)|⩽CnN, où   est une constante numérique. Ce résultat reste vrai dans le cadre beaucoup plus général où les formes linéaires   et les normes euclidiennes   vérifient des inégalités de type sous-exponentiel. Il en résulte que si A désigne la matrice dont les colonnes sont  , alors avec grande probabilité, les valeurs singulières extrêmes   et   de   vérifient  , ce qui est une version quantitative du théorème de Bai–Yin (Z.D. Bai, Y.Q. Yin, 1993 [[4]]) bien connu pour les matrices aléatoires à coefficients i.i.d.

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 The research was conducted while the authors participated in the Thematic Program on Asymptotic Geometric Analysis at the Fields Institute in Toronto in Fall 2010.


© 2010  Académie des sciences. Publié par Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.
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Vol 349 - N° 3-4

P. 195-200 - février 2011 Retour au numéro
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