We consider the four-boson and   fermionic problems with a model Hamiltonian which encapsulates the mechanism of the Feshbach resonance involving the coherent coupling of two atoms in the open channel and a molecule in the closed channel. The model includes also the pair-wise direct interaction between atoms in the open channel and in the bosonic case, the direct molecule–molecule interaction in the closed channel. Interactions are modeled by separable potentials which makes it possible to reduce the four-body problem to the study of a single integral equation. We take advantage of the rotational symmetry and parity invariance of the Hamiltonian to reduce the general eigenvalue equation in each angular momentum sector to an integral equation for functions of three real variables only. A first application of this formalism in the zero-range limit is given elsewhere [Y. Castin, C. Mora, L. Pricoupenko, Phys. Rev. Lett. 105 (2010) 223201].

Nous considérons les problèmes à quatre bosons et à   fermions en utilisant un Hamiltonien modèle incluant le mécanisme de la résonance de Feshbach avec un couplage cohérent entre deux atomes dans la voie ouverte et une molécule dans la voie fermée. Le modèle comprend aussi une interaction directe entre atomes dans la voie ouverte, et dans le cas bosonique, l'interaction entre deux molécules de la voie fermée. Les interactions sont modélisées par des potentiels séparables, ce qui permet de ramener le problème à quatre corps à la résolution d'une équation intégrale unique. L'invariance par rotation et par parité du Hamiltonien permet de réduire l'équation aux valeurs propres générale dans chaque secteur de moment cinétique fixé à une équation intégrale portant sur des fonctions de trois variables réelles seulement. Une première application de ces considérations a déjà été mise en œuvre dans [Y. Castin, C. Mora, L. Pricoupenko, Phys. Rev. Lett. 105 (2010) 223201].