Blow up dynamics for smooth equivariant solutions to the energy critical Schrödinger map - 16/03/11

Doi : 10.1016/j.crma.2011.01.026

Frank Merle ^a , Pierre Raphaël ^b , Igor Rodnianski ^c
^a Université de Cergy Pontoise et IHES, 2, avenue Adolphe-Chauvin, 95302 Cergy Pontoise, France
^b Institut de mathématiques, université Paul-Sabatier, 118, route de Narbonne, 31062 Toulouse cedex, France
^c Mathematics Department, Princeton University, Fine Hall, Washington road, NJ 08544-1000, USA

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Abstract

We consider the energy critical Schrödinger map to the 2-sphere for equivariant initial data of homotopy number . We show the existence of a set of smooth initial data arbitrarily close to the ground state harmonic map in the scale invariant norm which generate finite time blow up solutions. We give in addition a sharp description of the corresponding singularity formation which occurs by concentration of a universal bubble of energy
u(t,x)−eΘ⁎RQ1(xλ(t))→u⁎in H˙1 as t→T where , , R is a rotation and the concentration rate is given for some byλ(t)=κ(u)T−t|log(T−t)|2(1+o(1))as t→T.

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Résumé

Nous considérons lʼapplication de Schrödinger sur la 2-sphère énergie critique pour des données initiales à symétrie équivariante et de degré . Nous exhibons un ensemble de données initiales régulières arbitrairement proches dans la topologie invariante dʼéchelle de lʼapplication harmonique dʼénergie minimale qui engendrent des solutions explosives en temps fini. Nous donnons une description fine de la formation de singularité qui correspond à la concentration dʼune bulle universelle dʼénergie
u(t,x)−eΘ⁎RQ1(xλ(t))→u⁎in H˙1 où , , R est une rotation et la vitesse de concentration est donnée pour une certain par :λ(t)=κ(u)T−t|log(T−t)|2(1+o(1))quand t→T.