Nonlinear Schrödinger equations: concentration on weighted geodesics in the semi-classical limit - 01/01/05
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Abstract |
We consider the problem
2u-V(x)u+up=0,u>0,uH1(R2), where , is a small parameter and V is a uniformly positive, smooth potential. Let Γ be a closed curve, nondegenerate geodesic relative to the weighted arclength , where . We prove the existence of a solution concentrating along the whole of Γ, exponentially small in
at any positive distance from it, provided that
is small and away from certain critical numbers. This proves a conjecture raised in [A. Ambrosetti, A. Malchiodi, W.-M. Ni, Singularly perturbed elliptic equations with symmetry: existence of solutions concentrating on spheres, Part I, Commun. Math. Phys. 235 (2003) 427-466] in the two-dimensional case. To cite this article: M. del Pino et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005).
Résumé |
On considère le problème
2u-V(x)u+up=0,u>0,uH1(R2), avec , où est un petit paramètre et V est un potentiel régulier, uniformément positif. Soit Γ une courbe fermée formant une géodésique non dégénérée relativement à la longueur pondérée , avec . Nous démontrons lʼexistence dʼune solution qui se concentre le long de la courbe Γ tout entière, exponentiellement petite en
à toute distance positive de Γ, pourvu que
soit petit et évite certaines valeurs critiques. Ceci répond affirmativement à une conjecture énoncée dans [A. Ambrosetti, A. Malchiodi, W.-M. Ni, Singularly perturbed elliptic equations with symmetry: existence of solutions concentrating on spheres, Part I, Commun. Math. Phys. 235 (2003) 427-466] dans le cas bi-dimensionnel. Pour citer cet article : M. del Pino et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005).
Plan
Vol 341 - N° 4
P. 223-228 - août 2005 Retour au numéroBienvenue sur EM-consulte, la référence des professionnels de santé.
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