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The Camassa-Holm equation on the half-line - 01/01/05

Doi : 10.1016/j.crma.2005.09.035 
Anne Boutet de Monvel a , Dmitry Shepelsky b
a Institut de mathématiques de Jussieu, case 7012, université Paris 7, 2 place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France 
b Institute for Low Temperature Physics, 47 Lenin Avenue, 61103 Kharkiv, Ukraine 

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Abstract

We study the initial-boundary-value problem for the Camassa-Holm equation on the half-line by associating to it a matrix Riemann-Hilbert problem in the complex k-plane; the jump matrix is determined in terms of the spectral functions corresponding to the initial and boundary values. We prove that if the boundary values   are ≥ 0 for all t then the corresponding initial-boundary-value problem has a unique solution, which can be expressed in terms of the solution of the associated RH problem. In the case  , the compatibility of the initial and boundary data is explicitly expressed in terms of an algebraic relation to be satisfied by the spectral functions. To cite this article: A. Boutet de Monvel, D. Shepelsky, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005).

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Nous étudions un problème aux limites pour lʼéquation de Camassa-Holm sur la demi-droite en exprimant la solution en termes de la solution dʼun problème de Riemann-Hilbert matriciel dans le plan complexe du paramètre spectral k. La matrice de saut de ce problème de Riemann-Hilbert est déterminée par les fonctions spectrales qui correspondent aux valeurs initiales et aux valeurs au bord. Nous démontrons que si les valeurs au bord   sont ≥ 0 pout tout t, alors le problème aux limites a une solution unique, qui sʼexprime en termes de la solution du problème de Riemann-Hilbert associé. Lorsque les valeurs au bord   sont <0, les valeurs aux limites doivent vérifier une relation de compatibilité qui sʼexplicite par une relation algébrique que doivent satisfaire les fonctions spectrales associées. Pour citer cet article : A. Boutet de Monvel, D. Shepelsky, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005).

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Vol 341 - N° 10

P. 611-616 - novembre 2005 Retour au numéro
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