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Analyse anaplectique sur la droite réelle - 01/01/05

Doi : 10.1016/j.crma.2005.11.009 
André Unterberger
Département de mathématiques, UMR 6056, université de Reims, BP 1039, 51687 Reims cedex 2, France 

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Résumé

On sait que la représentation métaplectique dans   se décompose comme la somme de deux termes figurant lʼun dans la série discrète holomorphe du revêtement dʼordre deux du groupe  , lʼautre dans un prolongement de cette série. Partant plutôt de la série complémentaire des représentations unitaires du revêtement universel de G, on parvient, pour tout nombre réel mod 2,  , à la construction dʼune « analyse » nouvelle sur la droite réelle. Lʼespace   qui remplace   est un espace de fonctions se prolongeant en des fonctions entières. La notion dʼintégrale sur la droite une fois convenablement modifiée, la transformation de Fourier et la représentation « -anaplectique » se définissent sans difficulté, et se combinent de la façon usuelle avec la représentation dʼHeisenberg ; les représentations considérées sont pseudo-unitaires par rapport à un même produit scalaire. Les valeurs propres de lʼoscillateur harmonique dans lʼespace   constituent la suite arithmétique  . Pour citer cet article : A. Unterberger, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

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Abstract

The two irreducible summands of the metaplectic representation in   occur for one in the discrete series of the twofold cover of the group  , for the other in the continuation of this series. Starting instead from the complementary series of the universal cover of G, one can associate with every real number mod 2 a new analysis' on the real line. The space   that substitutes for   consists of functions extending as entire functions of one variable. Once the proper notion of integral on the real line has been introduced, one easily defines a concept of Fourier transformation and a new -anaplectic' representation: the latter combines in the usual way with the Heisenberg representation, and both representations are pseudo-unitary with respect to some -dependent scalar product. The spectrum of the harmonic oscillator in the space   is the set  . To cite this article: A. Unterberger, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

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Vol 342 - N° 2

P. 93-97 - janvier 2006 Retour au numéro
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