On définit un opérateur agissant sur des processus stochastiques, qui étend la dérivation classique sur les fonctions déterministes différentiables. On utilise cet opérateur pour définir une procédure associant aux opérateurs différentiels et équations différentielles ordinaires leurs analogues stochastiques. Elle est appelée plongement stochastique. En plongeant les systèmes lagrangiens, nous obtenons une équation dʼEuler-Lagrange stochastique, qui dans le cas des systèmes lagrangiens naturels est appelée équation de Newton plongée. Cette dernière contient lʼéquation de Newton stochastique introduite par Nelson dans sa théorie dynamique des diffusions browniennes. Enfin, on considère une diffusion à drift gradient, à coefficient de diffusion constant et possédant une densité de probabilité. On démontre alors quʼune condition nécessaire pour que cette diffusion soit solution de lʼéquation de Newton plongée, est que sa densité soit le carré du module dʼune fonction dʼonde solution dʼune équation de Schrödinger linéaire. Pour citer cet article : J. Cresson, S. Darses, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).

We define an operator which extends classical differentiation from smooth deterministic functions to certain stochastic processes. Based on this operator, we define a procedure which associates a stochastic analog to standard differential operators and ordinary differential equations. We call this procedure stochastic embedding. By embedding Lagrangian systems, we obtain a stochastic Euler-Lagrange equation which, in the case of natural Lagrangian systems, is called the embedded Newton equation. This equation contains the stochastic Newton equation introduced by Nelson in his dynamical theory of Brownian diffusions. Finally, we consider a diffusion with a gradient drift, a constant diffusion coefficient and having a probability density function. We prove that a necessary condition for this diffusion to solve the embedded Newton equation is that its density be the square of the modulus of a wave function solution of a linear Schrödinger equation. To cite this article: J. Cresson, S. Darses, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).