We prove a Korn-type inequality in   for tensor fields P mapping Ω to  . More precisely, let   be a bounded domain with connected Lipschitz boundary ∂Ω. Then, there exists a constant   such that
(1)c‖P‖L2(Ω,R3×3)⩽‖symP‖L2(Ω,R3×3)+‖CurlP‖L2(Ω,R3×3) holds for all tensor fields  , i.e., all   with vanishing tangential trace on ∂Ω. Here, rotation and tangential traces are defined row-wise. For compatible P, i.e.,   and thus  , where   are vector fields having components  , for which   are normal at ∂Ω, the presented estimate ((1)) reduces to a non-standard variant of Kornʼs first inequality, i.e.,c‖∇v‖L2(Ω,R3×3)⩽‖sym∇v‖L2(Ω,R3×3).On the other hand, for skew-symmetric P, i.e.,  , ((1)) reduces to a non-standard version of Poincaréʼs estimate. Therefore, since ((1)) admits the classical boundary conditions our result is a common generalization of these two classical estimates, namely Poincaréʼs resp. Kornʼs first inequality.

Nous démontrons une inégalité de type Korn dans   pour des champs tensoriels P appliquant Ω dans  . De façon plus précise, soit Ω un domaine borné de   dont la frontière ∂Ω est Lipschitz continue et connexe. Il existe alors une constante  , telle que
(1)c‖P‖L2(Ω,R3×3)⩽‖symP‖L2(Ω,R3×3)+‖CurlP‖L2(Ω,R3×3) est vérifiée pour tous les champs tensoriels  , i.e., pour tous les   dont la trace tangentielle sʼannule sur ∂Ω. Ici, rotation et trace tangentielle sont définies ligne par ligne. Pour des champs P compatibles, i.e.,  , dʼoù  , avec   et de composante  , telle que   est normal à ∂Ω, lʼestimation ((1)) se réduit àc‖∇v‖L2(Ω,R3×3)⩽‖sym∇v‖L2(Ω,R3×3),une variante non classique de la première inégalité de Korn. Par ailleurs, pour des P anti-symétriques, ((1)) se réduit à une variante non classique de lʼinégalité de Poincaré. Il en résulte que puisque ((1)) est compatible avec les conditions aux limites classiques, cette estimation généralise tout à la fois lʼinégalité de Poincaré et la première inégalité de Korn.