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A canonical extension of Korn?s first inequality to motivated by gradient plasticity with plastic spin - 08/12/11

Doi : 10.1016/j.crma.2011.10.003 
Patrizio Neff , Dirk Pauly , Karl-Josef Witsch
Universität Duisburg-Essen, Fakultät für Mathematik, Campus Essen Universitätsstr. 2, 45117 Essen, Germany 

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Abstract

We prove a Korn-type inequality in   for tensor fields P mapping Ω to  . More precisely, let   be a bounded domain with connected Lipschitz boundary ∂Ω. Then, there exists a constant   such that
(1)c‖P‖L2(Ω,R3×3)⩽‖symP‖L2(Ω,R3×3)+‖CurlP‖L2(Ω,R3×3) holds for all tensor fields  , i.e., all   with vanishing tangential trace on ∂Ω. Here, rotation and tangential traces are defined row-wise. For compatible P, i.e.,   and thus  , where   are vector fields having components  , for which   are normal at ∂Ω, the presented estimate ((1)) reduces to a non-standard variant of Kornʼs first inequality, i.e.,c‖∇v‖L2(Ω,R3×3)⩽‖sym∇v‖L2(Ω,R3×3).On the other hand, for skew-symmetric P, i.e.,  , ((1)) reduces to a non-standard version of Poincaréʼs estimate. Therefore, since ((1)) admits the classical boundary conditions our result is a common generalization of these two classical estimates, namely Poincaréʼs resp. Kornʼs first inequality.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Nous démontrons une inégalité de type Korn dans   pour des champs tensoriels P appliquant Ω dans  . De façon plus précise, soit Ω un domaine borné de   dont la frontière ∂Ω est Lipschitz continue et connexe. Il existe alors une constante  , telle que
(1)c‖P‖L2(Ω,R3×3)⩽‖symP‖L2(Ω,R3×3)+‖CurlP‖L2(Ω,R3×3) est vérifiée pour tous les champs tensoriels  , i.e., pour tous les   dont la trace tangentielle sʼannule sur ∂Ω. Ici, rotation et trace tangentielle sont définies ligne par ligne. Pour des champs P compatibles, i.e.,  , dʼoù  , avec   et de composante  , telle que   est normal à ∂Ω, lʼestimation ((1)) se réduit àc‖∇v‖L2(Ω,R3×3)⩽‖sym∇v‖L2(Ω,R3×3),une variante non classique de la première inégalité de Korn. Par ailleurs, pour des P anti-symétriques, ((1)) se réduit à une variante non classique de lʼinégalité de Poincaré. Il en résulte que puisque ((1)) est compatible avec les conditions aux limites classiques, cette estimation généralise tout à la fois lʼinégalité de Poincaré et la première inégalité de Korn.

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Vol 349 - N° 23-24

P. 1251-1254 - décembre 2011 Retour au numéro
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  • Nicole Spillane, Victorita Dolean, Patrice Hauret, Frédéric Nataf, Clemens Pechstein, Robert Scheichl

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