In this Note, a new sharp sufficient condition for exact sparse recovery by  -penalized minimization from linear measurements is proposed. The main contribution of this paper is to show that, for most matrices, this condition is also necessary. Moreover, when the   minimizer is unique, we investigate its sensitivity to the measurements and we establish that the application associating the measurements to this minimizer is Lipschitz-continuous.

Dans cette Note, une nouvelle condition suffisante pour lʼidentifiabilité parcimonieuse par minimisation   pénalisée à partir de mesures linéaires est proposée. La contribution majeure de ce travail est de prouver que pour la plupart des matrices, cette condition est aussi nécessaire. Par ailleurs, lorsque le minimiseur du problème   est unique, sa sensibilité aux mesures est étudiée et il est montré que lʼapplication qui envoie les mesures sur ce minimiseur est Lipschitz-continue.