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On the Kostant conjecture for Clifford algebras - 06/02/12

Doi : 10.1016/j.crma.2011.11.018 
Anton Alekseev a , Anne Moreau b
a Section de mathématiques, université de Genève, 2–4, rue du Lièvre, c.p. 64, CH-1211 Genève 4, Switzerland 
b Laboratoire de mathématiques et applications, université de Poitiers, téléport 2, 11, boulevard Marie-et-Pierre-Curie, BP 30179, 86962 Futuroscope Chasseneuil cedex, France 

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Abstract

Let   be a complex simple Lie algebra, and   be a Cartan subalgebra. In the end of 1990s, B. Kostant defined two filtrations on  , one using the Clifford algebras and the odd analogue of the Harish-Chandra projection  , and the other one using the canonical isomorphism   (here   is the Cartan subalgebra in the simple Lie algebra   corresponding to the dual root system) and the adjoint action of the principal  -triple. Kostant conjectured that the two filtrations coincide.

Recently, A. Joseph proved that the second Kostant filtration coincides with the filtration on   induced by the generalized Harish-Chandra projection   and the evaluation at  . In this Note, we prove that Josephʼs result is equivalent to the Kostant Conjecture. We also show that the standard Harish-Chandra projection   composed with evaluation at ρ induces the same filtration on  .

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Soient   une algèbre de Lie simple complexe, et   une sous-algèbre de Cartan. Vers la fin des années 1990, B. Kostant définit deux filtrations sur   ; la première utilise les algèbres de Clifford et lʼanalogue impair de la projection de Harish-Chandra  , la seconde lʼisomorphisme canonique   (ici,   est la sous-algèbre de Cartan dans lʼalgèbre de Lie simple   correspondant au système de racines dual) et lʼaction adjointe du  -triplet principal. Kostant conjectura que ces deux filtrations coïncident.

Récemment, A. Joseph a démontré que la seconde filtration de Kostant coïncidait avec la filtration sur   induite par la projection de Harish-Chandra généralisée   et lʼévaluation au point  . Dans cette Note, nous montrons que le résultat de Joseph est équivalent à la conjecture de Kostant. Nous obtenons de plus que la projection de Harish-Chandra standard   composée avec lʼévaluation au point ρ induit la même filtration sur  .

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Vol 350 - N° 1-2

P. 13-18 - janvier 2012 Retour au numéro
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