Soit X une variété projective irréductible de dimension n, et   le faisceau de Barlet des q-formes régulières sur X. Soit   des hypersurfaces principales sur X, dont les diviseurs associés sont amples, et sʼintersectant proprement. Pour  , le groupe de cohomologie   peut se calculer comme la cohomologie de degré p dʼun complexe de courants localement résiduels. On en déduit que tout élément de   admet comme représentant dans la classe de cohomologie de Dolbeault des courant  -fermés de bidegré   un courant localement résiduel à support dans  . Pour  , on obtient un autre théorème en se restreignant aux courants localement résiduels obtenus à partir de formes méromorphes à pôles logarithmiques sur les   ; ce dernier théorème est une variante dʼun Théorème 3.1 de Khesin et al. (2004), donnant un calcul de   par la cohomologie dʼun complexe de « chaines polaires ». Pour citer cet article : B. Fabre, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

Let X be an irreductible projective variety of dimension n, and   be the Barletʼs sheaf of regular q-forms on X. Let   be n principal hypersurfaces on X, defining ample line bundles, and intersecting properly. We show in this note that the Dolbeault cohomology group   ( ) can be computed as the p-th cohomology group of some complex of locally residual currents on X; we deduce that any element of   admits as representant in the Dolbeault cohomology class of  -closed currents of bidegree   a locally residual current with support in  . For  , we get another theorem by restricting to locally residual currents obtained from meromorphic n-forms with logarithmic poles on the  : this second version is a variant of a Theorem 3.1 of Khesin et al. (2004), giving a representation of   as the cohomology of a complex of polar chains'. To cite this article: B. Fabre, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).