La réalisation de Hodge du polylogarithme dʼun schéma abélien est une extension de modules de Hodge. Dans [A. Levin, Polylogarithmic currents on abelian varieties, in: A. Reznikov, N. Schappacher (Eds.), Regulators in Analysis, Geometry and Number Theory, in: Progr. Math., vol. 171, Birkhäuser, 2000, pp. 207-229], Levin construit certains courants (séries dʼEisenstein généralisées) et conjecture que ceux-ci décrivent lʼextension polylogarithmique. Notre résultat principal (Thm 3.1 et Cor 3.2) est une preuve de cette conjecture. On en déduit un outil pour étudier les classes dʼEisenstein (cf. Partie 4), qui ont une origine motivique (cf. [G. Kings, K-theory elements for the polylogarithm of abelian schemes, J. Reine Angew. Math. 517 (1999) 103-116]), dont un exemple dʼapplication sera donné dans une deuxième Note. Pour citer cet article : D. Blottière, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).

The Hodge realization of the polylogarithm of an Abelian scheme is an extension of Hodge modules. In [A. Levin, Polylogarithmic currents on abelian varieties, in: A. Reznikov, N. Schappacher (Eds.), Regulators in Analysis, Geometry and Number Theory, in: Progr. Math., vol. 171, Birkhäuser, 2000, pp. 207-229], Levin constructs some currents (generalized Eisenstein series) and conjectures that they describe the polylogarithmic extension. Our main result (Thm 3.1 and Cor 3.2) is a proof of this conjecture. This provides a tool to study the Eisenstein classes (see Section 4), which have a motivic origin (see [G. Kings, K-theory elements for the polylogarithm of abelian schemes, J. Reine Angew. Math. 517 (1999) 103-116]); an example of its application will be given in a second Note. To cite this article: D. Blottière, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).