In this Note we discuss an exact controllability based method for the computation of the time-periodic solutions of a scalar wave equation with constant coefficients. We take advantage of an equivalent mixed formulation of the wave problem to derive a related controllability problem taking place in   (assuming that  ). Compared to previous work, where the controllability problem takes place in a subspace of  , we can compute the periodic solutions by solving the novel controllability problem by a conjugate gradient algorithm operating in  . The finite dimensional realization of the above algorithm does not require special preconditioning (as it is the case when the control space is contained in  , requiring then the solution of discrete elliptic problems to achieve preconditioning). The results of numerical experiments validating this novel approach will be presented in a further Note. To cite this article: R. Glowinski, T. Rossi, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).

Dans cette Note, on étudie une méthode, basée sur la contrôlabilité exacte, pour le calcul des solutions périodiques en temps dʼune équation des ondes scalaire à coefficients constants. On y prend avantage dʼune formulation mixte équivalente du problème dʼondes pour se rammener à un problème de contrôlabilité posé dans   (on suppose que  ). Comparé à des travaux précédents, où le problème de contrôlabilité est posé dans un sous-espace de  , on peut calculer les solutions périodiques en résolvant le nouveau problème de contrôlabilité par un algorithme de gradient conjugué opérant dans  . Lʼ analogue discret de lʼalgorithme ci-dessus ne demande pas de préconditionnement sophistiqué (comme cʼest le cas quand lʼespace de contrôle est contenu dans  , exigeant alors la résolution de problèmes elliptiques discrets pour préconditionner). Les résultats dʼessais numériques validant la nouvelle approche feront lʼobjet dʼune note ultérieure. Pour citer cet article : R. Glowinski, T. Rossi, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 343 (2006).