Multiplicity of complex hypersurface singularities, Rouché satellites and Zariskis problem - 15/02/08

Doi : 10.1016/j.crma.2007.04.005

Christophe Eyral ^a , Elizabeth Gasparim ^b
^a Max-Planck Institut für Mathematik, Vivatsgasse 7, 53111 Bonn, Germany
^b The University of Edinburgh, School of Mathematics, James Clerk Maxwell Building, The Kingʼs Buildings, Mayfield Road, Edinburgh, EH9 3JZ, United Kingdom

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Abstract

Let be reduced germs of holomorphic functions. We show that f and g have the same multiplicity at 0, if and only if, there exist reduced germs and analytically equivalent to f and g, respectively, such that and satisfy a Rouché type inequality with respect to a generic small' circle around 0. As an application, we give a reformulation of Zariskiʼs multiplicity question and a partial positive answer to it. To cite this article: C. Eyral, E. Gasparim, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).

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Résumé

Soient des germes de fonctions holomorphes réduits. Nous montrons que f et g ont la même multiplicité en 0 si et seulement sʼil existe des germes réduits et analytiquement équivalents à f et g, respectivement, tels que et satisfassent une inégalité du type de Rouché par rapport à un petit' cercle générique autour de 0. Comme application, nous donnons une reformulation de la question de Zariski sur la multiplicité et une réponse partielle positive à celle-ci. Pour citer cet article : C. Eyral, E. Gasparim, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 344 (2007).