Morphologie des tournois (-1)-critiques - 15/02/08

Doi : 10.1016/j.crma.2007.11.006

Houmem Belkhechine ^a , Imed Boudabbous ^b , Jamel Dammak ^c
^a Faculté des sciences de Gabès, cité Riadh, Zirig 6072 Gabès, Tunisie
^b Institut préparatoire aux études dʼingénieurs de Sfax, route Menzel-Chaker Km 0.5, 3018 Sfax, Tunisie
^c Faculté des sciences de Sfax, BP 802, 3018 Sfax, Tunisie

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Résumé

Étant donné un tournoi , une partie X de S est un intervalle de T lorsque pour tous et , si et seulement si . Par exemple, , et S sont des intervalles de T, appelés intervalles triviaux. Un tournoi, dont tous les intervalles sont triviaux, est indécomposable ; sinon, il est décomposable. Un sommet x dʼun tournoi indécomposable T est critique si le tournoi est décomposable. En 1993, J.H. Schmerl et W.T. Trotter ont caractérisé les tournois dont tous les sommets sont critiques, appelés tournois critiques. Ces tournois ont un cardinal impair ≥ 5. Pour chaque entier impair , il existe trois tournois critiques de cardinal m. Dans cet article, nous caractérisons les tournois qui admettent un unique sommet non critique, que nous appelons tournois (-1)-critiques. Ces tournois ont un cardinal impair ≥ 7. Pour chaque entier impair , il existe tournois -critiques de cardinal m. Notre travail prolonge une étude récente sur lʼindécomposabilité et les sommets critiques faite par Y. Boudabbous et P. Ille. Pour citer cet article : H. Belkhechine et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

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Abstract

Given a tournament , a subset X of V is an interval of T provided that for any and , if and only if . For example, , and V are intervals of T, called trivial intervals. A tournament, all the intervals of which are trivial, is indecomposable; otherwise, it is decomposable. A vertex x of an indecomposable tournament is critical if is decomposable. In 1993, J.H. Schmerl and W.T. Trotter characterized the tournaments, all the vertices of which are critical, called critical tournaments. The cardinality of these tournaments is odd. Given an odd integer , there exist three critical tournaments of cardinality m. In this article, we characterize the tournaments which admit a single non critical vertex, that we call -critical tournaments. The cardinality of these tournaments is odd. Given an odd integer , there exist -critical tournaments of cardinality m. Our work extends a recent study of indecomposability and critical vertices made by Y. Boudabbous and P. Ille. To cite this article: H. Belkhechine et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).