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Global existence and boundedness of classical solutions for a chemotaxis model with logistic source - 30/10/13

Doi : 10.1016/j.crma.2013.07.027 
Khadijeh Baghaei a , Mahmoud Hesaaraki b
a Department of Mathematics, Iran University of Science and Technology, Tehran, Iran 
b Department of Mathematics, Sharif University of Technology, Tehran, Iran 

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Abstract

We consider the chemotaxis system:
{ut=Δu−∇⋅(uχ(v)∇v)+f(u),x∈Ω,t>0,vt=Δv−v+ug(u),x∈Ω,t>0, under homogeneous Neumann boundary conditions in a bounded domain  ,  , with smooth boundary and function f is assumed to generalize the logistic source:f(u)=au−bu2,u⩾0, with a>0,b>0. Moreover,   and   are nonnegative smooth functions and satisfy:χ(s)⩽ϱ(1+ϑs)k,s⩾0, with some ϱ>0,ϑ>0 and k>1,g(s)⩽h0(1+hs)δ,s⩾0,withh0>0,h⩾0,δ⩾0. We prove that for all positive values of ϱ, a and b, classical solutions to the above system are uniformly-in-time bounded. This result extends a recent result by C. Mu, L. Wang, P. Zheng and Q. Zhang (2013) [[13]], which asserts the global existence and boundedness of classical solutions on condition that   and ϱ be sufficiently small.

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

On considère le système de la chimiotaxie :
{ut=Δu−∇⋅(uχ(v)∇v)+f(u),x∈Ω,t>0,vt=Δv−v−ug(u),x∈Ω,t>0, avec conditions de Neumann homogènes dans un domaine borné  ,  , de frontière régulière ; on suppose que f est une généralisation dʼune source logistique :f(u)=au−bu2,u≥0, avec a>0,b>0. De plus,   et   sont des fonctions positives ou nulles régulières vérifiant :χ(s)≤ϱ(1+ϑs)k,s≥0, avec ϱ>0,ϑ>0,k>1,g(s)≤h0(1+hs)δ,s≥0, avec h0>0,h≥0,δ≥0. On démontre que, pour toute valeur positive de ϱ, a et b, les solutions classiques du système ci-dessus sont uniformément bornées en temps. Ce résultat étend un résultat récent de C. Mu, L. Wang, P. Zheng et Q. Zhang (2013) [[13]], qui établit lʼexistence globale et des bornes des solutions classiques sous les conditions   et ϱ assez petit.

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Vol 351 - N° 15-16

P. 585-591 - août 2013 Retour au numéro
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