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Remarks on compact shrinking Ricci solitons of dimension four - 19/11/13

Doi : 10.1016/j.crma.2013.10.006 
Li Ma a, b
a Department of Mathematics, Henan Normal University, Xinxiang 453007, China 
b Department of Mathematical Sciences, Tsinghua University, Beijing 100084, China 

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Abstract

In this paper, we study the topological restriction of gradient shrinking Ricci solitons   of dimension 4. Let s be the scalar curvature of the metric g. Then we have:
∫Msdvg=4ρvol(M), where   is the shrinking constant and   is the volume of  . We also have two kinds of topology results. (1) If we assume that:∫Ms2⩽24ρ2vol(M), then2χ(M)±3τ(M)⩾0. (2) If   is a natural oriented Kähler surface, then we have:2χ(M)+3τ(M)=ρ2vol(M)2π2. Actually, we shall show that the assumption in (1) above is equivalent to the fact that:∫Mσ2(Rc−s6g)⩾0. Here   is the 2nd symmetric function of the eigenvalues of the matrix  .

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Résumé

Nous étudions dans cette Note la restriction topologique des solitons de Ricci   contractant le gradient, de dimension 4. Soit s la courbure scalaire de la métrique g, alors on a :
∫Msdvg=4ρvol(M), où   est la constante de contraction et   le volume de  . Nous obtenons également deux types de résultats topologiques. (1) En supposant :∫Ms2⩽24ρ2vol(M), alors2χ(M)±3τ(M)⩾0. (2) Si   est une surface de Kähler naturellement orientée, alors on a :2χ(M)+3τ(M)=ρ2vol(M)2π2. En fait, nous montrons que lʼhypothèse de (1) ci-dessus est équivalente à :∫Mσ2(Rc−s6g)⩾0, avec   la seconde fonction symétrique des valeurs propres de la matrice  .

Le texte complet de cet article est disponible en PDF.

Plan


 The research is partially supported by the National Natural Science Foundation of China No. 11271111 and SRFDP 20090002110019. The version here is a revised version after a suggestion from Prof. C. LeBrun during Muenster conference in August of 2006.


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Vol 351 - N° 21-22

P. 817-823 - novembre 2013 Retour au numéro
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