The Koebe domain of a family of functions, holomorphic on the unit disk, is the largest domain that is contained in the image of the unit disk for every function of the family. In this note, we furnish a geometric proof of a classical theorem due to Landau on the Koebe domains for certain families of holomorphic functions. The method of proof involves our recently obtained results concerning estimates for hyperbolic metrics on subdomains.

Le domaine de Koebe dʼune famille de fonctions holomorphes sur le disque unité est le plus grand domaine qui est contenu dans lʼimage du disque par chaque fonction de la famille. Dans cette note, nous présentons une preuve géométrique dʼun théorème classique de Landau, relatif aux domaines de Koebe de certaines familles de fonctions holomorphes. La méthode de preuve met en jeu notre résultats récents concernant les estimations pour les métriques hyperboliques sur des sous-domaines.