In this Note, we propose a new method, based on perturbation theory, to post-process the planewave approximation of the eigenmodes of periodic Schrödinger operators. We then use this post-processing to construct an accurate a posteriori estimator for the approximations of the (nonlinear) Gross–Pitaevskii equation, valid at each step of a self-consistent procedure. This allows us to design an adaptive algorithm for solving the Gross–Pitaevskii equation, which automatically refines the discretization along the convergence of the iterative process, by means of adaptive stopping criteria.

Dans cette Note, nous proposons une nouvelle méthode, basée sur la théorie des perturbations, pour post-traiter l'approximation dans une base d'ondes planes des modes propres d'opérateurs de Schrödinger périodiques. Nous utilisons ensuite ce post-traitement pour construire un estimateur d'erreur a posteriori pour les approximations de l'équation de Gross–Pitaevskii (non linéaire), valide à chaque étape de la procédure auto-cohérente. Ceci nous permet de proposer un algorithme adaptatif pour résoudre cette équation, qui raffine automatiquement la discrétisation au cours du processus itératif, par le biais de critères d'arrêt adaptatifs.