Soit Ω un ouvert borné connexe de   satisfaisant la propriété du cône intérieur uniforme et soit  . On établit une inégalité de Korn non linéaire dans  , qui fournit une borne supérieure de la norme   de la différence entre deux immersions   et   en fonction de la norme   de la différence entre leurs tenseurs métriques associés   et  .

Soit ensuite Ω un ouvert borné simplement connexe de   à frontière lipschitzienne, l'ensemble Ω étant situé localement d'un seul côté de sa frontière. Utilisant l'inégalité de Korn non linéaire dans   ci-dessus, on établit la Lipschitz-continuité locale de l'application  , qui est bien définie lorsque les composantes du tenseur de courbure de Riemann associé à C s'annulent dans  , l'immersion   étant la solution, unique à une isométrie de   près, de l'équation   dans Ω.

Let Ω be a bounded and connected open subset of   that satisfies the uniform interior cone property and let  . We establish a nonlinear Korn inequality in  , which provides an upper bound of the  -norm of the difference between two immersions   and   in terms of the  -norm of the difference between their associated metric tensors   and  .

Second, let Ω be a bounded, simply-connected, open subset of   with a Lipschitz boundary, the set Ω being locally on the same side of its boundary. Using the above nonlinear Korn inequality in  , we establish the local Lipschitz-continuity of the mapping  , which is well-defined when the components of the Riemann curvature tensor associated with C vanish in  , the immersion   being the solution, unique up to an isometry of  , of the equation   in Ω.