When  , maps f in   have   phases φ, but the  -seminorm of φ is not controlled by the one of f. Lack of control is illustrated by “the kink”:  , where the phase φ moves quickly from 0 to 2π. A similar situation occurs for maps  , with Moebius maps playing the role of kinks. We prove that this is the only loss of control mechanism: each map   satisfying   can be written as  , where   is a Moebius map vanishing at  , while the integer   and the phase ψ are controlled by M. In particular, we have   for some  . When  , we obtain the sharp value of  , which is  . As an application, we obtain the existence of minimal maps of degree one in   with  .

Si  , les applications f appartenant à   ont des phases φ dans  , mais la seminorme   de φ n'est pas contrôlée par celle de f. L'absence de contrôle est illustrée par « le pli » :  , où la phase φ augmente rapidement de 0 à 2π. Pour des applications  , le même phénomène apparaît, avec les transformations de Moebius jouant le rôle des plis. Nous prouvons que cet exemple est essentiellement le seul : toute application   telle que   s'écrit  , où   est une transformation de Moebius s'annulant en  , tandis que l'entier   et la phase ψ sont contrôlés par M. En particulier, nous avons   pour une constante  . Pour  , nous obtenons la valeur optimale de  , qui est  . Comme application, nous obtenons l'existence d'une application minimale de degré un dans   avec  .