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Comptes Rendus Mathématique
Volume 353, n° 12
pages 1105-1109 (décembre 2015)
Doi : 10.1016/j.crma.2015.08.003
Received : 20 April 2015 ;  accepted : 29 August 2015
Simultaneous empirical interpolation and reduced basis method for non-linear problems
Une méthode EIM bases réduites simultanée pour les équations aux dérivées partielles non linéaires et non affines
 

Cécile Daversin , Christophe Prud'homme
 IRMA (UMR 7501), 7, rue René-Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France 

Abstract

In this paper, we focus on the reduced basis methodology in the context of non-linear non-affinely parameterized partial differential equations in which affine decomposition necessary for the reduced basis methodology are not obtained [[8], [9]]. To deal with this issue, it is now standard to apply the EIM methodology [[1], [3]] before deploying the Reduced Basis (RB) methodology. However, the computational cost is generally huge as it requires many finite element solves, hence making it inefficient, to build the EIM approximation of the non-linear terms [[2], [3]]. We propose a simultaneous EIM reduced basis algorithm, named SER, which provides a huge computational gain and requires as little as   finite-element solves where N is the dimension of the RB approximation. The paper is organized as follows: we first review the EIM and RB methodologies applied to non-linear problems and identify the main issue, then we present SER and some variants and finally illustrates its performances in a benchmark proposed in [[3]].

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Résumé

Dans ce papier, nous nous intéressons à la méthodologie bases réduites (RB) dans le contexte d'équations aux dérivées partielles paramétrisées non linéaires et non affines, pour lesquelles la décomposition affine nécessaire à la méthodologie RB ne peut être obtenue [[8], [9]]. Pour traiter ce problème, il est à présent standard d'appliquer la méthodologie EIM [[1], [3]] avant de déployer la méthodologie RB. Cependant, le coût de calcul de cette approche est en général considérable, car il requiert de nombreuses évaluations éléments finis pour construire l'approximation EIM des termes non linéaires [[2], [3]], ce qui la rend très peu compétitive. Nous proposons l'algorithme SER, qui construit simultanément l'approximation EIM et la méthodologie RB, fournissant ainsi un gain de calcul considérable, et qui requiert au minimum   résolutions éléments finis, où N est la dimension de l'approximation RB. Le papier est organisé comme suit : tout d'abord, nous passons en revue les méthodes EIM et RB appliquées aux problèmes non linéaires et identifions la difficulté principale, puis nous présentons SER et quelques variantes ; finalement, nous illustrons ses performances sur un benchmark proposé par [[3]].

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