In this paper, we study the chemotaxis system:
{ut=∇⋅(ξ∇u−χu∇v),x∈Ω,t>0,vt=Δv−uv,x∈Ω,t>0, under homogeneous Neumann boundary conditions in a bounded domain  , with smooth boundary. Here, ξ and χ are some positive constants.

We prove that the classical solutions to the above system are uniformly in-time-bounded provided that:
‖v0‖L∞(Ω)<{1χξ2(n+1)[π+2arctan⁡((1−ξ)22(n+1)ξ)],if0<ξ<1,πχ2(n+1),ifξ=1,1χξ2(n+1)[π−2arctan⁡((ξ−1)22(n+1)ξ)],ifξ>1. In the case of  , the recent results show that the classical solutions are global and bounded provided that  . Because of  , or more precisely,  , our results extend the recent results.

Dans cette Note, nous étudions le système de chimiotaxie suivant :
{ut=∇⋅(ξ∇u−χu∇v),x∈Ω,t>0,vt=Δv−uv,x∈Ω,t>0, sous des conditions de Neumann homogènes au bord, supposé lisse, d'un domaine borné  ,  . Ici, ξ et χ sont des constantes positives.

Nous montrons que les solutions classiques du système ci-dessus sont uniformément bornées en temps, pourvu que :
‖v0‖L∞(Ω)<{1χξ2(n+1)[π+2arctan⁡((1−ξ)22(n+1)ξ)],si0<ξ<1,πχ2(n+1),siξ=1,1χξ2(n+1)[π−2arctan⁡((ξ−1)22(n+1)ξ)],siξ>1. Dans le cas  , des résultats récents montrent que les solutions classiques sont globales et bornées dès que  . Comme   ou, plus précisément,  , ces résultats se déduisent des nôtres.