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Journal de radiologie
Vol 85, N° 3  - mars 2004
pp. 281-286
Doi : JR-03-2004-85-3-0221-0363-101019-ART03
Fondements physiques élémentaires de la tractographie en tenseur de diffusion
 
© Éditions Françaises de Radiologie, Paris, 2004

neuroradiologie
Tirés à part :

Basic principles of diffusion tensor MR tractography

Diffusion tensor MR tractography allows in vivo depiction of anatomical bundles composing the white matter of the brain and of spinal cord. Diffusion MRI uses the effects of heterogeneous water molecule movement to determine for each pixel the main axis and magnitude of local anisotropy. Tractography exploits these data to reconstruct the tridimensional geometry of the bundles providing neurologists with precise information about white matter tract architecture involvement by various pathologies. In this paper, the basic principles of molecular diffusion and the subsequent diffusion tensor that describes its geometrical and quantitative characteristics will be reviewed, in particular within bundles of white matter. Then main principles of diffusion tensor MR imaging and tractography will be presented.

Key words: Tractography , , Diffusion tensor , , Anisotropy , , Bundles , .

 

La tractographie par IRM en tenseur de diffusion offre, en neuroimagerie, la possibilité d'étudier, in vivo et de manière non invasive, les grands faisceaux anatomiques qui composent l'encéphale et la moelle épinière. En effet, l'IRM en tenseur de diffusion exploite l'effet des inhomogénéités du milieu étudié sur le mouvement des molécules d'eau afin de déterminer pour chaque voxel la direction principale et l'intensité de l'anisotropie. La tractographie reconstruit à partir de ces données la géométrie tridimensionnelle des faisceaux étudiés. Le clinicien pourra dès lors disposer d'informations anatomiques et fonctionnelles précises sur le retentissement de certaines pathologies sur l'organisation de la substance blanche. Aussi le présent article se propose-t-il d'introduire les principes élémentaires de la diffusion moléculaire, et le tenseur de diffusion qui en précise les aspects géométriques et quantitatifs, ainsi que les spécificités de la diffusion des molécules d'eau au sein des faisceaux neuro-anatomiques. Puis seront envisagés le type d'acquisition en IRM qui permet de pondérer les images en diffusion, et les principes de tractographie.

Mots-clés : Tractographie , , Tenseur de diffusion , , Anisotropie , , Faisceau , .

La tractographie [1] se propose de visualiser en trois dimensions le trajet des différents faisceaux composant la substance blanche du système nerveux. Cette méthode y parvient indirectement en étudiant la mobilité des molécules d'eau contrainte par l'anisotropie du milieu intra- et extracellulaire. En effet, ces molécules d'eau « piégées » entre et au sein des axones se déplacent préférentiellement selon l'axe principal des fibres nerveuses en raison notamment de la présence de la membrane plasmique et de la gaine de myéline qui s'opposent à leur mouvement. Le coefficient de diffusion de l'eau, dans un volume donné, variera en fonction des différentes directions, reflétant la trajectoire des axones.

Principes élémentaires de diffusion

Les molécules diffusent spontanément en fonction du gradient de concentration du milieu le plus concentré vers le milieu le moins concentré, ce qu'exprime la première loi de Fick :

Jx = - Dx dC/dx [1] où Jx représente le flux moléculaire macroscopique selon Ox par unité de surface, Dx le coefficient de diffusion dans la direction Ox, à une température donnée et pour un milieu donné, et dC/dx la variation de concentration.

Cependant, au sein d'un milieu homogène (dC/dx = 0), ne se manifeste aucun flux macroscopique, et seule une approche statistique des flux microscopiques liés au mouvement brownien peut être développée. Dans ce cas, il importe de déterminer la probabilité de trouver au temps t en position x(t), une molécule initialement située en x0 au gré des chocs aléatoires avec les divers composants du milieu, ce qui occasionne des fluctuations locales de la concentration C. La solution de l'équation [1] prend alors une forme gaussienne.

Tenseur de diffusion

Au sein d'un milieu anisotrope, il convient de substituer à la valeur scalaire du coefficient de diffusion Dx le tenseur Dij à neuf composantes (un tenseur est une forme algébrique multilinéaire généralisant la notion de vecteur, et pouvant se représenter comme une matrice à i lignes et j colonnes) [2],[3],[4]. En effet, la structure cellulaire ou tissulaire peut imposer des coefficients de diffusion différents pour les trois directions de l'espace : Dxx¹ Dyy¹ Dzz (éléments diagonaux du tenseur Dij), ainsi que des corrélations entre mouvements effectués simultanément dans deux directions perpendiculaires (éléments non-diagonaux de Dij : Dij¹ 0 pour i ¹ j).

Il est possible, en outre, de simplifier l'expression du tenseur de diffusion en se plaçant dans un repère particulier, appelé repère propre, lequel permet de supprimer les éléments non diagonaux. Le tenseur Dij se réduit alors à une matrice diagonale dont les éléments non nuls se confondent avec les valeurs propres : λ1, λ2 et λ3, et le repère propre associé est engendré par trois vecteurs propres :

,

et

, tels que : Dij

(fig. 1). Ces derniers résultats s'interprètent physiquement en assimilant ces trois vecteurs aux trois directions principales de diffusion des molécules d'eau, et les valeurs propres à l'importance de leur déplacement dans le sens du vecteur propre correspondant. Dans le cas d'un milieu anisotrope défini par: λ1 >= λ2 >= λ3, le mouvement des molécules d'eau situées à t = 0 en x0 peut se représenter dans le repère propre sous la forme d'une ellipsoïde dont l'axe principal, parallèle à

, représente la direction préférentielle du déplacement (fig. 2a).

Selon les valeurs relatives des λ traduisant la structure microscopique du milieu ambiant, trois grands types de mouvements diffusifs dont les multiples combinaisons rendront compte des mouvements réels pourront être décrits [6] : 1/ un déplacement global linéaire parallèle à la direction de la plus grande valeur propre : λ1 > λ2» λ3(fig. 2c), 2/ un déplacement global planaire défini par les deux plus grandes valeurs propres : λ1» λ2 > λ3 , et 3/ un déplacement global sphérique dans un milieu isotrope : λ1» λ2» λ3(fig. 2b). Une quantification possible de ces aspects géométriques (linéaire, planaire et sphérique) peut consister en la données de trois coefficients cl, cp et cs (souvent corrigés par le niveau général de bruit) :

  • cl = λ1 - λ2 / λ1
  • cp = λ2 - λ3 / λ1
  • cs = λ3 / λ1
  • avec cl + cp + cs = 1.

Il importe de compléter ces données géométriques par une mesure du degré d'anisotropie variable d'un endroit à l'autre. Deux indicateurs, parmi d'autres, mais aisément calculables, ont été introduits à cette fin : le taux relatif d'anisotropie (TRA) et la fraction d'anisotropie (FA) :

  • TRA = (1/2)1/2 [(λ1 - <λ>)2+ (λ2<λ>) 2 + (λ1 - <λ>) 2 / (λ1 + λ2 + λ3)] 1/2
  • FA = (3/2)1/2 [(λ1 - <λ>)2+ (λ2<λ>) 2 + (λ1 - <λ>) 2 / (λ12 + λ22 + λ32)] 1/2

(<λ> valeur moyenne des valeurs propres du tenseur D).

Ces deux indicateurs (TRA et FA) utilisent donc, comme mesure de l'anisotropie, la déviation standard des valeurs propres au numérateur rapportée au dénominateur, soit respectivement à la valeur moyenne de la diffusion, ou à la valeur totale du tenseur D. Le choix d'un indicateur plutôt qu'un autre dépend de sa plus grande robustesse par rapport au bruit aléatoire en fonction des contextes expérimentaux. En résumé, les caractéristiques tensorielles de la diffusion renseigneront localement sur l'amplitude, les directions préférentielles et donc la géométrie (par λ) du déplacement des molécules d'eau, ainsi que sur le degré d'anisotropie (par FA ou par TRA) et, par conséquent, sur la structure interne du milieu.

Diffusion et faisceaux neuro-anatomiques

Les faisceaux de la substance blanche se composent d'un ensemble d'axones qui cheminent de manière compacte et cohérente de leur origine vers leurs cibles. Cette organisation fasciculaire détermine un premier niveau d'anisotropie tissulaire, auquel s'adjoint un second niveau cellulaire lié à l'ultrastructure de l'axone. Au sein de l'axoplasme, les molécules d'eau se déplacent plus facilement et plus rapidement parallèlement à la trajectoire de l'axone plutôt que perpendiculairement à celui-ci en raison de la présence imperméabilisante de la membrane plasmique et de la gaine de myéline. Ainsi, l'axe principal du repère propre de la fibre nerveuse, attaché à la plus grande valeur propre λ1, sera aligné sur la trajectoire locale de l'axone, et les deux autres axes sur sa section planaire ; le déplacement aqueux s'identifiera alors à une ellipsoïde. Il s'ensuit que la diffusion globale d'un certain volume d'un faisceau donné dépendra du nombre de fibres, de leur diamètre, de leur structure interne, de leur degré de myélinisation, de leur degré de parallélisme et de leur topologie.

Acquisition IRM

L'enregistrement IRM cherche à obtenir, pour chaque voxel, un signal relatif à la mobilité des molécules d'eau dans une direction donnée afin de reconstituer l'orientation globale des fibres nerveuses pour laquelle cette mobilité est maximale. Il s'agit donc de pondérer spécifiquement l'image en diffusion afin d'accéder au tenseur de diffusion. La séquence de base utilisée consiste en une séquence d'écho de spin dont l'impulsion de 180° se trouve encadrée par l'application symétrique de deux gradients de champ magnétique de valeur opposée Gi et - Gi d'une durée égale pour chacun à δ, et dont l'instauration est séparée d'un temps Δ (fig. 3)[6],[7],[8].

Par Gi, les molécules d'eau localisées en x1 acquièrent un déphasage φ1 (x1) :



(γ le rapport gyro-magnétique des protons).

Puis, pendant Δ, ces molécules se déplacent de x1 en x2, de sorte qu'à Δ + δ, sous l'action de - Gi, elles ne subissent plus qu'un rephasage partiel

Ce déphasage résiduel lié au mouvement brownien des spins conduit à une diminution de la magnétisation transversale M, M0 désignant la magnétisation à l'équilibre :

soit, en considérant non plus un seul spin, mais en considérant la distribution statistique de l'ensemble des spins présents dont la probabilité de cheminer de la position z1 à une position située entre z2 et z2 + dz au bout du temps Δ : P( z1 z2 Δ) :



L'intégration mènerait à :

expression qui explicite la dépendance de la perte de magnétisation en fonction des paramètres temporels et d'intensité des gradients appliqués.

D'où, il résulte une atténuation du signal d'écho de spin S proportionnelle au mouvement des spins, lui-même subordonné au tenseur de diffusion Dij :

avec

coefficient traduisant la contribution des gradients de champ magnétique G selon les directions i et j, et S0 le signal enregistré en l'absence de gradient G. L'obtention de S0 est importante car elle permettra, par soustraction au signal S, d'éliminer la dépendance en T1, T2 et en densité protonique, afin de ne conserver que la pondération en diffusion.

Par ailleurs, le tenseur Dij étant symétrique en i et j, seules six de ses composantes s'avèrent indépendantes et donc nécessaires à sa reconstruction de sorte qu'il suffit d'appliquer, au minimum, les gradients G selon six directions différentes et non colinéaires.

Ainsi chaque voxel de l'image IRM collectée contiendra des informations sur le déplacement local des spins permettant d'expliciter le tenseur de diffusion dans ce volume, avec en particulier ses directions propres et ses valeurs propres (λ1 >= λ2 >= λ3) dont la plus grande fournit l'orientation globale du faisceau alors que les deux autres témoignent respectivement des dispersions angulaires et normales. Se déduisent également FA et TRA, estimant le degré d'anisotropie. Finalement, l'image IRM apparaît comme un champ tensoriel aux orientations localement définies, qui, couplé aux degrés locaux d'anisotropie, permettra de représenter le degré d'anisotropie de chacun des voxels du volume étudié, en l'assimilant à une ellipsoïde (ou un cylindre), et en lui affectant une couleur [9] (indiquant la direction principale de l'anisotropie), et la brillance (indiquant le degré d'anisotropie) (fig. 4).

Principes élémentaires de tractographie

Les images ainsi obtenues sont une projection bidimensionnelle de l'anisotropie. De plus, elles représentent l'anisotropie de façon discontinue et non discriminative. Aussi, pour restaurer le continuum du faisceau neuro-anatomique, est-il nécessaire de repérer puis d'interpoler les voxels spécifiques du faisceau étudié. Deux principes essentiels gouvernent cette tâche [10]. Le premier, déjà mentionné, suppose que la direction affectée à la plus grande valeur propre (λ) traduit l'orientation du tractus. Le second stipule de connecter un voxel choisi avec le voxel contigu désigné par la direction propre, puis de poursuivre ce procédé de proche en proche jusqu'à ce que, par exemple, le degré d'anisotropie passe en deçà d'un seuil indiquant une solution de continuité tissulaire (par exemple, FA < 0,1). Enfin, les voxels identifiés seront réunis par une courbe qui matérialisera le faisceau. Plus précisément, la trajectoire du faisceau peut être paramétrée par un arc r(s) en fonction de la coordonnée curviligne s, dont l'évolution est décrite par la tangente t(s), à partir d'une position initiale r0 fixée par l'expérimentateur d'après ses connaissances anatomiques (fig. 5)[11] :

t(s) = dr (s) / ds = αλ1(r(s)) (compte tenu du premier principe précité). De l'équation précédente, d'autres informations pourront être acquises notamment en relation avec la courbure κ(s) ou la torsion τ(s), ce qui affinera la topologie du faisceau :

κ(s) = dt(s) / ds

τ(s) = - d(t(s) κ(s) ) / ds.

Plutôt que de résoudre analytiquement ce système d'équations différentielles, il est plus commode d'approcher ses solutions par deux méthodes numériques : celle de Euler, ou celle, plus précise, de Runge-Kutta [13]. La première est équivalente à un développement en série de Taylor d'ordre1de r(s) :

r(s) » r(s0) + α λ1 (s0)

avec α facteur de proportionnalité inférieur à 1. La deuxième méthode, plus fidèle prend en compte en plus le terme d'ordre 2 dans la série de Taylor. L'erreur alors réalisée reste trois fois inférieure à celle de la méthode de Euler, et a tendance à décroître au fur et à mesure que plus de termes sont intégrés. En résumé, l'algorithme permettra de passer par incrémentations successives de δs de r(si) à r(si+1), de calculer λ1 (si+1) et donc la direction propre, ainsi que FA (ou d'autres index) pour garantir la cohérence du trajet suivi et la nécessité de le poursuivre, pour obtenir une courbe qui ajustera au mieux les points r(si). Néanmoins, le traitement doit inclure aussi d'autres étapes indispensables (lissage, filtrage, repérage des discontinuités vraies du faisceau...) destinées à corriger un certain nombre d'erreurs liées, en particulier, à la structure géométrique complexe des faisceaux, au bruit - lequel risque de modifier les valeurs propres –, et à différents artefacts. Ces derniers varient selon le nombre d'excitation de la séquence IRM utilisée mais peuvent partiellement être corrigées [14]. Ils résultent essentiellement : des mouvements du patient, des courants induits, d'importantes variations de la susceptibilité magnétique entre tissus, des discontinuités des gradients, du déplacement chimique dans la direction du gradient de phase … Ces artefacts se traduisent par des distorsions des images, des images fantômes ou une perte de signal. En règle générale, les séquences à plusieurs excitations accroissent le rapport signal sur bruit et diminuent les distorsions géométriques. Par ailleurs, si plusieurs faisceaux se croisent au sein d'un même voxel, ou si un même faisceau s'y divise en plusieurs sous-groupes, le premier vecteur propre donnera la direction moyenne de tous les faisceaux présents, et non celle du faisceau retenu. Une manière de prévenir ces erreurs consiste alors : 1/ en l'amélioration de la résolution spatiale, et/ou 2/ en le recours à de nouveaux algorithmes de tractographie ne se fondant plus exclusivement sur le calcul des vecteurs et valeurs propres. Certains de ces algorithmes prennent en considération les connaissances anatomiques disponibles, et la faible courbure des faisceaux pour contraindre le calcul [15].

Conclusion

L'IRM de diffusion, en mesurant le coefficient apparent de diffusion (ADC), se bornait à estimer l'amplitude globale des mouvements de diffusion de l'eau sans renseigner sur leur direction préférentielle. Plus récemment, l'IRM en tenseur de diffusion grâce à l'utilisation d'au moins six gradients magnétiques de directions non colinéaires a permis de préciser la direction préférentielle du déplacement local des molécules d'eau, lequel est largement contraint par l'organisation cellulaire et tissulaire du milieu. La tractographie s'efforce à partir des ces informations locales et ponctuelles de reconstituer la continuité des grands faisceaux anatomiques composant la substance blanche, accessibles dès lors à une étude qualitative et quantitative. Elle offre ainsi la possibilité, in vivo de segmenter anatomiquement et fonctionnellement la substance blanche chez l'être humain. Elle complète de la sorte avantageusement les images d'IRM morphologique et fonctionnelle, qui, combinées, peuvent respectivement repérer l'origine et/ou les cibles corticales et sous-corticales des faisceaux, et la fraction effectivement impliquée dans une tâche donnée. Elle peut être mise à profit non seulement dans des conditions normales mais aussi dans des conditions pathologiques. Cette technique permettra par exemple : 1/ l'identification précise des faisceaux anatomiques préférentiellement affectés dans certaines pathologies (démyélinisantes, dégénératives, vasculaires, infectieuses, métaboliques ou développementales), 2/ une meilleure corrélation des déficits neurologiques et des lésions de la substance blanche, et 3/ une détermination des modifications topographiques ou qualitatives des faisceaux, par exemple, par compression tumorale ce qui pourra éventuellement guider le geste neurochirurgical, ou dans des atteintes psychiatriques. Malgré ces perspectives prometteuses, la tractographie rencontre encore des problèmes liés à la standardisation des procédures pour la reproductibilité, la comparabilité des résultats et pour la correction des artéfacts, au degré de résolution, et à la possibilité d'en identifier univoquement l'origine, les embranchements et la terminaison des faisceaux.

Remerciements aux Docteurs Adrian Istoc et Rosalie N'Guyen pour l'iconographie.

Références
Références

[1] Cercignani M, Horssfield MA. The physical basis of diffusion-weighted MRI. J Neurol Sci 2001;186:S11-S4.

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[6] Westin CF, Maier SE, Mamata H, Nabavi A, Jolesz FA, Kikinis R. Processing and visualization for diffusion tensor MRI. Med Image Anal 2002;6:93-108.

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[13] Wilson HR. Spike decision and actions. Oxford University Press, édit., New York, 1999, 60-70.

[14] Skare S. Optimization strategies in diffusion tensor MR imaging. Karolinska University Press, Stockholm 2002.

[15] Poupon C, Clark CA, Frouin V, et al. Regularization of diffusion-based direction maps for the tracking of brain white matter fascicles. NeuroImage 2000;12:184-95.

Illustrations



Figure 1.a Expression générale du tenseur symétrique de diffusion D sous forme matricielle (à gauche) au sein d'un repère arbitraire Oxyz (à droite) dont les axes ne correspondent pas aux directions propres (en pointillés) orientées selon les vecteurs propres

,
, et
.b Expression du même tenseur de diffusion D diagonalisé en fonction des seules valeurs propres λ1, λ2, et λ3 (à gauche) pour lequel le repère Oxyz coïncide avec la direction des vecteurs propres associés
(à droite).

Figure 1. a Matrix representation of the symmetrical diffusion tensor D (left side) in an arbitrary framework Oxyz (right side) whose axes are not parallel to the eigenvectors

,
, and
(dashed arrows).b Representation of the same but diagonalized diffusion tensor D (left side) in the framework Oxyz now defined by the eigenvectors
(right side).

(Les tableaux sont exclusivement disponibles en format PDF).

Figure 2.Représentation schématique dans le repère propre défini par les vecteurs propres (

,
,
) pondérés par les valeurs propres associées (λ1, λ2, λ3) du mouvement des molécules d'eau (plus exactement, de la progression de la surface d'équiprobabilité des solutions de l'équation de diffusion) sous forme :a ellipsoïde dans un milieu anisotrope,b sphérique dans un milieu isotrope etc quasi-linéaire dans un milieu anisotrope (modifié de 12).

Figure 2.Representation of the global displacement of water molecules (more precisely, of the isocontour of the solution to diffusion equation) in the natural system of axes defined by the eigendirections (

,
,
) scaled by the associated eigenvalues (λ1, λ2, λ3):a ellipsoid case in highly anisotropic medium,b spherical case in isotropic medium andc quasi linear case in partially anisotropic medium (modified from 12).

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Figure 3.Exemple d'une séquence d'écho de spin pondérée en diffusion dans une direction de l'espace par l'utilisation de part et d'autre de l'impulsion de radio-fréquence de 180° d'un gradient symétrique de champ magnétique.

Figure 3. Example of a spin diffusion-weighted sequence by the use of two symmetrical gradient pulses (in one direction).


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Figure 4.Exemple de reconstruction tridimensionnelle, en tractographie, des radiations du corps calleux, en projection sur une coupe axiale pondérée en T2 (les coupes axiales ont été acquises sur une IRM Horizon Signa de 1,5 T avec pour paramètres : TE = 102,9 ms, TR = 4000 ms, FOV = 28 x 28, matrice = 128 x 128, Nex = 4, épaisseur de coupe = 9 mm; 6 gradients de directions non colinéaires ont été appliqués; b = 3000 s/mm2).

Figure 4.Example of 3D fiber tract trajectory computed for the corpus callosum: projection of callosal trajectory onto axial T2-weighted image (axial DT-MRI data for this reconstruction were obtained on 1.5 T GE Horizon Signa magnet: TE = 102,9 ms, TR = 4000 ms, field of view = 28 x 28, matrix = 128 x 128, Nex = 4, section thickness = 2,9 mm; 6 non colinear directions were recorded; diffusion weighting of b = 3000 s/mm2).


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Figure 5.Représentation simplifiée d'une interpolation algorithmique, continue et cohérente (par exemple, similarité des index d'anisotropie, faible incrément de courbure) des voxels adjacents dont le vecteur propre attaché à la plus grande valeur propre λ donne la direction du faisceau étudié (en pointillé) de tangente t(r(s)) à la position r(s).

Figure 5. Simplified representation of a continuous algorithmic interpolation process of contiguous voxels (based, for example, on similarity of anisotropic index, low amount of curvature) for which the eigenvector linked to the largest eigenvalue gives the local direction of the fiber tract (dashed line) with the tangent t(r(s)) at the position r(s).


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