Markov processes associated with -resolvents, applications to quasi-regular Dirichlet forms and stochastic differential equations - 21/03/08

Doi : 10.1016/j.crma.2007.12.005

Lucian Beznea ^a,^b , Nicu Boboc ^c , Michael Röckner ^d,e
^a Institute of Mathematics “Simion Stoilow” of the Romanian Academy, P.O. Box 1-764, RO-014700 Bucharest, Romania
^b University of Piteşti, Romania
^c Faculty of Mathematics and Informatics, University of Bucharest, str. Academiei 14, RO-010014 Bucharest, Romania
^d Fakultät für Mathematik, Universität Bielefeld, Postfach 100 131, 33501 Bielefeld, Germany
^e Departments of Mathematics and Statistics, Purdue University, 150 N. University St. West Lafayette, IN 47907-2067, USA

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Abstract

We show that every -resolvent on , where is a Lusin measurable space and μ is a -finite measure on , has an associate sufficiently regular Markov process on a (larger) Lusin topological space containing E as a Borel subset. We give general conditions on the resolventʼs generator such that the above process lives on E. We present two applications: (i) we settle a question of G. Mokobodzki on the existence of a (Lusin) topology on E having as Borel -algebra such that a given Dirichlet form on becomes quasi-regular; (ii) we solve stochastic differential equations on Hilbert spaces in the sense of a martingale problem. To cite this article: L. Beznea et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

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Résumé

Nous montrons que à toute résolvante sous-markovienne continue sur , où est un espace mesurable de Lusin et μ est une mesure -finie sur , on peut associer un processus droit sur un espace topologique de Lusin contenant E comme un sousensemble borélien finement dense. Nous donnons des conditions sufficientes sur le générateur infinitesimal de la résolvante tel que lʼespace dʼétats du processus soit E. Nous obtenons deux applications : (i) une réponse à une question posée par G. Mokobodzki sur lʼexistence dʼune topologie de Lusin sur E ayant comme tribue borélienne, telle que une forme de Dirichlet donnée sur devienne quasi-régulière ; (ii) on résoudre des équations différentielles stochastiques sur des espaces de Hilbert, dans le sense du problème de martingale. Pour citer cet article : L. Beznea et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).