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Comptes Rendus Mathématique
Volume 357, n° 2
pages 200-204 (février 2019)
Doi : 10.1016/j.crma.2019.01.010
Received : 26 November 2018 ;  accepted : 4 February 2019
Exhaustive families of representations of C -algebras associated with N -body Hamiltonians with asymptotically homogeneous interactions
Familles exhaustives de représentations des C -algèbres associées aux hamiltoniens du problème à N corps à potentiel asymptotiquement homogène
 

Jérémy Mougel , Nicolas Prudhon
 Université de Lorraine, UFR MIM, 3, rue Augustin-Fresnel, 57045 Metz, France 

Abstract

We continue the analysis of algebras introduced by Georgescu, Nistor, and their coauthors, in order to study N -body type Hamiltonians with interactions. More precisely, let   be a linear subspace of a finite-dimensional Euclidean space X , and   be a continuous function on   that has uniform homogeneous radial limits at infinity. We consider, in this paper, Hamiltonians of the form  , where the subspaces   belong to some given family   of subspaces. Georgescu and Nistor have considered the case when   consists of all subspaces  , and Nistor and coauthors considered the case when   is a finite semilattice and Georgescu generalized these results to any family. In this paper, we develop new techniques to prove their results on the spectral theory of the Hamiltonian to the case where   is any family of subspaces also, and extend those results to other operators affiliated to a larger algebra of pseudodifferential operators associated with the action of X introduced by Connes. In addition, we exhibit Fredholm conditions for such elliptic operators. We also note that the algebras we consider answer a question of Melrose and Singer.

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Résumé

Nous poursuivons l'étude des algèbres introduites par Georgescu, Nistor et leurs collaborateurs pour étudier les hamiltoniens du problème à N corps avec interactions. Plus précisément, soit   un sous-espace d'un espace euclidien X de dimension finie, et soit   une fonction continue sur   possédant des limites radiales à l'infini. Nous considérons ici des hamiltoniens de la forme  , où   est une famille donnée de sous-espaces de X . Georgescu et Nistor ont étudié en détail le cas où la famille   contient tous les sous-espaces de X ; Nistor et ses co-auteurs ont étudié le cas d'une famille finie stable par intersections, et Georgescu a généralisé certains de ces résultats à des familles quelconques. Dans cette note, nous développons de nouvelles techniques pour étendre les résultats spectraux précédents à des familles quelconques également et pour des opérateurs pseudo-différentiels (ou affiliés) associés à l'action de X par translation, introduits par Connes. En outre, nous obtenons, pour les opérateurs elliptiques, une caractérisation comme étant des opérateurs de Fredholm. Nous faisons remarquer également que ces algèbres répondent à une question de Melrose et Singer.

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